数据拟合与插值方法（matlab）

插值方法interp1一维数据插值函数
csape
interp2函数二维数据内插值
interp3函数三维数据插值
interpn函数n维数据插值
二维插值interp2与griddata的区别
Example

拟合方法线性拟合函数regressExample

多项式曲线拟合函数polyfit多项式曲线求值函数polyval
多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf

稳健回归函数robust
向自定义函数拟合nlinfitExample

插值方法

interp1——一维数据插值函数

一维数据插值。该函数对数据点之间计算内插值，它找出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数表达式由所给数据决定。 
yi=interp1(x,Y,xi)：返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量X与Y的内插值决定。参量x 指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 
yi=interp1(Y,xi)：假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 
yi=interp1(x,Y,xi,method)：用指定的算法计算插值。nearest为最近邻点插值，直接完成计算；linear为线性插值（默认方式），直接完成计算；spline为三次样条函数插值。 
yi=interp1(x,Y,xi,method,’extrap’)：对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。 
yi=interp1(x,Y,xi,method,extrapval)：确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。

csape

pp = csape(x,y,conds,valconds) 
其中(x,y)为数据向量，conds表示变界类型， valconds表示边界值。 
边界类型(conds)可为： 
‘complete’，给定边界一阶导数. 
‘not-a-knot’，非扭结条件,不用给边界值. 
‘periodic’，周期性边界条件,不用给边界值. 
‘second’，给定边界二阶导数. 
‘variational’，自然样条(边界二阶导数为0) 
边界类型(valconds)可为： 
‘complete’，给定边界一阶导数. 
‘not-a-knot’，非扭结条件,不用给边界值. 
‘periodic’，周期性边界条件,不用给边界值. 
‘second’，给定边界二阶导数. 
‘variational’，自然样条(边界二阶导数为0)

interp2函数——二维数据内插值

完成二维的数据插值。 
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI)：返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素。用户可以输入行向量 和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数 Z=f(X,Y)。 
ZI=interp2(Z,XI,YI)：默认地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。 
ZI=interp2(Z,n)：作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。interp2(Z)等价于interp2(z,1)。 
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)：用指定的算法method计算二维插值。linear为双线性插值算法（默认算法），nearest为最临近插值，spline为三次样条插值，cubic为双三次插值。

interp3函数——三维数据插值

完成三维数据插值。 
VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)：求出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。参 量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。若向量参量XI,YI,ZI是不同长度、不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩 阵。Y1,Y2,Y3为用函数meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点（X,Y,Z）之外的点，则 相应地返回特殊变量值NaN。 
VI=interp3(V,XI,YI,ZI)：默认地，X=1:N，Y=1:M，Z=1:P，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形计算。 
VI=interp3(V,n)：作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。这样，V的阶数将不断增加。interp3(V)等价于interp3(V,1)。 
VI=interp3(…,method)：用指定
13f6c
的算法method做插值计算。linear为线性插值（默认算法），cubic为三次插值，spline为三次样条插值，nearest为最邻近插值。

interpn函数——n维数据插值

完成n维数据插值。 
VI=interpn(X1,X2,…,Xn,V,Y1,Y2,..,Yn)：返回由参量X1,X2,..,Xn,V确定的n元函数 V=V(X1,X2,..,Xn)在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。若 Y1,Y2,…,Yn是向量，则可以是不同长度，不同方向（行或列）的向量。 
VI=interpn(V,Y1,Y2,…,Yn)：默认地，X1=1:size(V,1),X2=1:size(V,2),…,Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形计算。 
VI=interpn(V,ntimes)：作ntimes递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。这样，V的阶数将不断增加。interpn(V)等价于interpn(V,1)。

二维插值，interp2与griddata的区别

interp2的插值数据必须是矩形域，一般使用meshgid生成的 
而griddata函数的插值数据X和Y没有那么多数据，特别是对试验中随机没有规律采取的数据进行插值具有很好的效果 
griddata(X,Y,xi,yi,’v4’) v4是一种插值算法，没有具体的名字，一般认为是最好的 
X和Y提供的已知数据点，xi和yi是需要插值的数据点，一般使用meshgrid生成，当然也可以其他数据，但是那样绘图的时候就比较麻烦，不能使用mesh等，只能使用trimesh

Example：

x=[0,0.25 ,0.5,0.75,1];
y=[620,700,800,900,1000];
z=[0.00214      0.01025        0.01681        0.02331        0.02644
0.00236        0.01039        0.01717        0.02375        0.02711
0.00286        0.01058        0.01739        0.02411        0.02792
0.00328        0.01072        0.01747        0.02442        0.02878
0.00369        0.0108         0.01761         0.02481        0.0295      ];
xi=linspace(0,1,100);
yi=linspace(600,1000,80);
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi);
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'linear');
zii1=interp2(x,y,z,xii,yii,'spline');
zii2=interp2(x,y,z,xii,yii,'nearest');
zii3=griddata(x,y,z,xii,yii,'v4');
subplot(2,2,1);%将区域分为2x2并取第一个区域
mesh(xii,yii,zii),title('interp2 线性插值');画图并设置标题
subplot(2,2,2);mesh(xii,yii,zii1),title('interp2 三次样条插值');
subplot(2,2,3);mesh(xii,yii,zii2),title('interp2 临近点插值');
subplot(2,2,4);mesh(xii,yii,zii3),title('griddata');

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拟合方法

线性拟合函数：regress()

调用格式： b=regress(y,X) 
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X) 
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha) 
说明：b=regress(y,X)返回X与y的最小二乘拟合值，及线性模型的参数值β、ε。该函数求解线性模型： 
y=Xβ+ε 
β是p´1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。 
bint返回β的95%的置信区间。r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。

Example：

当x为1到33时Y为 
y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99]

y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99];
x=[ones(33,1) (1:33)'];
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y',x);
b =

5.2904
0.0921

bint =

4.9201    5.6608
0.0731    0.1111

r =

-1.6525
0.7954
0.3633
0.1112
-0.0309
-0.0430
-0.0651
-0.2472
-0.1593
-0.1814
0.1965
0.6044
0.3123
0.1002
0.3581
0.9060
0.7339
0.0118
0.1297
-0.1423
-0.0544
-0.3265
-0.7686
-0.7907
-0.5828
-0.2849
-0.2870
-0.1191
0.2088
0.0367
-0.0354
0.2425
0.6604

rint =

-2.4339   -0.8712
-0.1605    1.7513
-0.6338    1.3604
-0.8993    1.1216
-1.0467    0.9849
-1.0630    0.9770
-1.0888    0.9586
-1.2705    0.7761
-1.1881    0.8695
-1.2124    0.8496
-0.8365    1.2295
-0.4084    1.6172
-0.7203    1.3450
-0.9396    1.1400
-0.6746    1.3909
-0.0796    1.8917
-0.2716    1.7395
-1.0301    1.0537
-0.9105    1.1700
-1.1815    0.8968
-1.0935    0.9846
-1.3570    0.7039
-1.7638    0.2265
-1.7810    0.1996
-1.5902    0.4245
-1.3069    0.7370
-1.3054    0.7313
-1.1383    0.9000
-0.8041    1.2217
-0.9745    1.0479
-1.0416    0.9708
-0.7543    1.2393
-0.3037    1.6245

stats =

0.7591   97.6636    0.0000    0.2598

plot(x,y2,x,y,'go');

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即回归方程为：y= 5.2904+0.0921x,置信度为0.75. 

多项式曲线拟合函数：polyfit( )

调用格式： p=polyfit(x,y,n) 
[p,s]= polyfit(x,y,n) 
说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。

多项式曲线求值函数：polyval()

调用格式： y=polyval(p,x) 
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 
说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

%使用上面的例子
y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99];
x=[ones(33,1) (1:33)'];
p=polyfit(x,y,6)

p =

-0.0000    0.0001   -0.0028    0.0528   -0.4775    2.0159    2.7873
xi=linspace(1,33,100);%1到33等分取100个数
z=polyval(p,xi);%求算出的多项式的对应x的值
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')%画原始数据点，原始折线，和拟合后的曲线
legend('原始数据','6阶曲线')

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即多项式方程为：y= 0.0001x^5-0.0028x^4+0.0528x^3-0.4775x^2+2.0159x+2.7873 

多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：polyconf( )

调用格式： [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s) 
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha) 
说明：[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。1-alpha为置信度。

%使用上面的例子
%继续上面的图像做置信区间
[p s]=polyfit(x,y,6);
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,0.05);
z=polyval(p,xi);%求算出的多项式的对应x的值
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b');%画原始数据点，原始折线，和拟合后的曲线
legend('原始数据','10阶曲线');
hold on
plot(x,Y-DELTA,'r',x,Y+DELTA,'r');%画置信区间

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稳健回归函数：robust( )

稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。 
调用格式： b=robustfit(x,y) 
[b,stats]=robustfit(x,y) 
[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’) 
说明：b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项；为’off ’时忽略常数项。

%使用上面的例子
y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99];
x=1:33;
scatter(x,y);%画图，离散点
hold on;
p=regress(y',[ones(33,1) x']);%线性拟合
r=robustfit(x,y);%稳健拟合
plot(x,p(1)+p(2)*x,':',x,r(1)+r(2)*x,'r');%画图
legend('原始数据','线性拟合','稳健拟合')%设置图例

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分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响，向异常值偏移。

向自定义函数拟合nlinfit( )

对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。 
调用格式： [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao) 
说明：beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。

Example：

%新建一个脚本
function y=Fun(beta0,x)
a=beta0(1);
b=beta0(2);
y=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));

%命令行
x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00...
16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00...
24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 32.00...
34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]';
y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43...
0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.41...
0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39]';
beta0=[0.30 0.02];//a,b初始值
betafit = nlinfit(x,y,'Fun',beta0);
betafit =

0.3896    0.1011
%即a=0.3896 b=0.1011
plot(x,y,'go',x,Fun(betafit,x),'r')%画图

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转：http://blog.csdn.net/zl814981463/article/details/53999598