线性相关线性无关与正交
2018-03-09 14:38
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定义:
有向量组 A1,A2,A3,…An若当且仅当k1=k2=k3=…Kn=0时k1*A1 + k2*A2 +k3*A3+…+KnAn = 0成立,则这三个向量是线性相关的
有人要问,不是2点确定一条直线么,那么任意两点可以认为在一次函数y=kx+b上,所以任何2点都是线性相关的。从几何学上考虑,的确2点确定一条直线,但是当k=0时,即斜率为0,此时所有不论x如何变化,y=b,即平行于(或重合于)x轴。这样的各个x点,已经失去研究意义,因为不论x如何变化,y都是一个常数,也就是说,此时x和y已经没有特殊的一一对应的函数关系, 对我们研究价值几乎为“0”。这样的各个自变量x,我们给他一个名字:线性无关的变量。
反过来说,只要能找到一个非“0”的k实现y=kx+b,难么我们就可以认为这些x是线性相关的,但是至于相关性大不大,那是另外一个问题。需要用到统计学的知识,常见的有相关系数,线性回归,协方差矩阵,信息熵。
难么正交又是怎么回事?
正交,“可以"理解为垂直,但是在n维空间的”垂直“叫做正交也就是,向量A和B的内积A•B=|A||B|cos(theta)=0,即 theta=90°。
问:现在有两组向量A和B正交,那么他们线性无关吗?
证明:
有向量组 A1,A2,A3,…An若当且仅当k1=k2=k3=…Kn=0时k1*A1 + k2*A2 +k3*A3+…+KnAn = 0成立,则这三个向量是线性相关的
有人要问,不是2点确定一条直线么,那么任意两点可以认为在一次函数y=kx+b上,所以任何2点都是线性相关的。从几何学上考虑,的确2点确定一条直线,但是当k=0时,即斜率为0,此时所有不论x如何变化,y=b,即平行于(或重合于)x轴。这样的各个x点,已经失去研究意义,因为不论x如何变化,y都是一个常数,也就是说,此时x和y已经没有特殊的一一对应的函数关系, 对我们研究价值几乎为“0”。这样的各个自变量x,我们给他一个名字:线性无关的变量。
反过来说,只要能找到一个非“0”的k实现y=kx+b,难么我们就可以认为这些x是线性相关的,但是至于相关性大不大,那是另外一个问题。需要用到统计学的知识,常见的有相关系数,线性回归,协方差矩阵,信息熵。
难么正交又是怎么回事?
正交,“可以"理解为垂直,但是在n维空间的”垂直“叫做正交也就是,向量A和B的内积A•B=|A||B|cos(theta)=0,即 theta=90°。
问:现在有两组向量A和B正交,那么他们线性无关吗?
证明:
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