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图的基本算法(BFS和DFS)转载自https://www.jianshu.com/p/70952b51f0c8

m0_37620545 2018-03-09 11:24 62 查看
图是一种灵活的数据结构,一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。对象由顶点(
V
)表示,而对象之间的关系或者关联则通过图的边(
E
)来表示。

图可以分为有向图和无向图,一般用
G=(V,E)
来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。

在图的基本算法中,最初需要接触的就是图的遍历算法,根据访问节点的顺序,可分为广度优先搜索(
BFS
)和深度优先搜索(
DFS
)。

广度优先搜索(BFS)

广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前,先访问当前顶点的所有邻接结点。

a .首先选择一个顶点作为起始结点,并将其染成灰色,其余结点为白色。

b. 将起始结点放入队列中。

c. 从队列首部选出一个顶点,并找出所有与之邻接的结点,将找到的邻接结点放入队列尾部,将已访问过结点涂成黑色,没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色,表示已经发现并且放入了队列,如果顶点的颜色是白色,表示还没有发现

d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。

基本就是出队的顶点变成黑色,在队列里的是灰色,还没入队的是白色。

用一副图来表达这个流程如下:



1.初始状态,从顶点1开始,队列={1}



2.访问1的邻接顶点,1出队变黑,2,3入队,队列={2,3,}



3.访问2的邻接结点,2出队,4入队,队列={3,4}



4.访问3的邻接结点,3出队,队列={4}



5.访问4的邻接结点,4出队,队列={ 空}

从顶点1开始进行广度优先搜索:

初始状态,从顶点1开始,队列={1}

访问1的邻接顶点,1出队变黑,2,3入队,队列={2,3,}

访问2的邻接结点,2出队,4入队,队列={3,4}

访问3的邻接结点,3出队,队列={4}

访问4的邻接结点,4出队,队列={ 空}

结点5对于1来说不可达。

上面的图可以通过如下邻接矩阵表示:

int maze[5][5] = {
{ 0, 1, 1, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 1, 0 },
{ 0, 1, 1, 1, 0 },
{ 1, 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 1, 0 }
};

BFS核心代码如下:

#include <iostream>
#include <queue>
#define N 5
using namespace std;
int maze

= {
{ 0, 1, 1, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 1, 0 },
{ 0, 1, 1, 1, 0 },
{ 1, 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 1, 0 }
};
int visited[N + 1]
c678
= { 0, };
void BFS(int start)
{
queue<int> Q;
Q.push(start);
visited[start] = 1;
while (!Q.empty())
{
int front = Q.front();
cout << front << " ";
Q.pop();
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (!visited[i] && maze[front - 1][i - 1] == 1)
{
visited[i] = 1;
Q.push(i);
}
}
}
}
int main()
{
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (visited[i] == 1)
continue;
BFS(i);
}
return 0;
}


深度优先搜索(DFS)

深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后,需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。

初始条件下所有节点为白色,选择一个作为起始顶点,按照如下步骤遍历:

a. 选择起始顶点涂成灰色,表示还未访问

b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个,继续这个过程(即再寻找邻接结点的邻接结点),一直深入下去,直到一个顶点没有邻接结点了,涂黑它,表示访问过了

c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点,再找这个上一层顶点的其余邻接结点,继续如上操作,如果所有邻接结点往下都访问过了,就把自己涂黑,再回溯到更上一层。

d. 上一层继续做如上操作,知道所有顶点都访问过。

用图可以更清楚的表达这个过程:



1.初始状态,从顶点1开始



2.依次访问过顶点1,2,3后,终止于顶点3



3.从顶点3回溯到顶点2,继续访问顶点5,并且终止于顶点5



4.从顶点5回溯到顶点2,并且终止于顶点2



5.从顶点2回溯到顶点1,并终止于顶点1



6.从顶点4开始访问,并终止于顶点4

从顶点1开始做深度搜索:

初始状态,从顶点1开始

依次访问过顶点1,2,3后,终止于顶点3

从顶点3回溯到顶点2,继续访问顶点5,并且终止于顶点5

从顶点5回溯到顶点2,并且终止于顶点2

从顶点2回溯到顶点1,并终止于顶点1

从顶点4开始访问,并终止于顶点4

上面的图可以通过如下邻接矩阵表示:

int maze[5][5] = {
{ 0, 1, 1, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 0, 1 },
{ 0, 0, 1, 0, 0 },
{ 1, 1, 0, 0, 1 },
{ 0, 0, 1, 0, 0 }
};


DFS核心代码如下(递归实现):

#include <iostream>
#define N 5
using namespace std;
int maze

= {
{ 0, 1, 1, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 0, 1 },
{ 0, 0, 1, 0, 0 },
{ 1, 1, 0, 0, 1 },
{ 0, 0, 1, 0, 0 }
};
int visited[N + 1] = { 0, };
void DFS(int start)
{
visited[start] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (!visited[i] && maze[start - 1][i - 1] == 1)
DFS(i);
}
cout << start << " ";
}
int main()
{
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (visited[i] == 1)
continue;
DFS(i);
}
return 0;
}


非递归实现如下,借助一个栈:

#include <iostream>
#include <stack>
#define N 5
using namespace std;
int maze

= {
{ 0, 1, 1, 0, 0 },
{ 0, 0, 1, 0, 1 },
{ 0, 0, 1, 0, 0 },
{ 1, 1, 0, 0, 1 },
{ 0, 0, 1, 0, 0 }
};
int visited[N + 1] = { 0, };
void DFS(int start)
{
stack<int> s;
s.push(start);
visited[start] = 1;
bool is_push = false;
while (!s.empty())
{
is_push = false;
int v = s.top();
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (maze[v - 1][i - 1] == 1 && !visited[i])
{
visited[i] = 1;
s.push(i);
is_push = true;
break;
}
}
if (!is_push)
{
cout << v << " ";
s.pop();
}

}
}
int main()
{
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (visited[i] == 1)
continue;
DFS(i);
}
return 0;
}


有的DFS是先访问读取到的结点,等回溯时就不再输出该结点,也是可以的。算法和我上面的区别就是输出点的时机不同,思想还是一样的。DFS在环监测和拓扑排序中都有不错的应用。
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