（2017）第八届蓝桥杯大赛个人赛省赛（软件类） C/C++ 大学A组 题解（第八题）

前言

完成了回贵州的老家之行，也该回学校啦=w=
这次的题目是我个人认为最棘手的一道题，当然从表面上看这道题还是很容易的

第八题

题目

标题：包子凑数
小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。
每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。
输入
----
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)  
输出
----
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。
例如，
输入：
2  
4  
5   
程序应该输出：
6  
再例如，
输入：
2  
4  
6    
程序应该输出：
INF
样例解释：
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。  
对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。  
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
注意：
main函数需要返回0;
只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>
不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

第一种做法

分析

这道题如果要直接分析计算有多少个数无法被凑出来，似乎非常难。
那么能不能求出哪些数是无法被凑出来的呢？
4000
也很难。
但是哪些数能被凑出来是可以通过给定的数去用程序硬凑的。
这样，我们就可以去判断一个数能不能被凑出来了。
那我们就先实现一个吧。
那么这个数可以被凑出来要符合哪些条件呢？
1.这个数是给定的n个数之一。
2.这个数减去给定的n个数中的其中一个之后，依然可以被凑出来。
第1条显然成立，第2条我们稍作思考也会发现是对的，而且这两条包含了所有的情况。
当然，这种做法无法解决凑不出来的数是否无限。

代码及运行结果

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e2 + 5;
int n, a[MAX_N];
bool judge(int x) {
if (x <= 0) return false;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (x == a[i]) return true;
if (judge(x - a[i])) return true;
}
return false;
}
int main() {
int ans = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
if (!judge(i)) ans++;
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}

观察代码我们可以发现，这段判断函数其实就是一个深搜。
在不考虑无限多个数无法凑出来的情况下，这种做法看上去并没有什么问题。
但是我们仔细分析一下时间复杂度，对于每一个数，都有n种可能进入另外一个数，那么在数很大的情况下，计算每一个数的时间复杂度就会呈指数级增长。



还有一个问题就是，在这段代码中，我们默认只要判断到1000就足矣。但事实果真如此吗？
现在我们来着手解决这些问题。

第二种解法

分析

先考虑时间复杂度的问题。
我们会发现在从1计算到1000的过程中，每一个数都只考虑比它小的数的情况，不需要考虑比它大的数的情况。那么，我们在之前既然已经解决了这些比它小的数的情况，何不把它们记下来呢？这样对于每一个数，我们最多就只需要执行n次判断了。
那么这个时候我们再来考虑判断的范围。题目限制1s，也就是1e8次运算。那么每个数最多执行n次的情况下，保险起见我们也可以算到5e5个数。虽然我们无法确定这个范围是否足够，但是比1000就要保险得多。

代码及运行结果

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e2 + 5, MAX_M = 5e5 + 5;
int n, a[MAX_N];
bool able[MAX_M];
// 下面这段代码通常被称为记忆化搜索
bool judge(int x) {
    if (x <= 0) return false;
    if (able[x]) return true;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (x == a[i]) return able[x] = true;
        if (able[x - a[i]]) return able[x] = true;
    }
    return false;
}
int main() {
    int ans = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= 5e5; i++) {
        if (!judge(i)) ans++;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

之所以被称为记忆化搜索，是因为它在搜索的过程中记录了所有的结果。
这样做的好处是，如果每次搜索都是基于前面搜索的结果得出的话，效率就会被大大提高。



相较而言，这种做法的答案更大（从而更准确），速度也更快。
但是，我们依旧没有从根本解决之前所述的几个问题。当然，如果时间不允许你深入思考，做到这里也是可以的。

第三种做法

分析

现在，我们来尝试进一步优化程序。
首先考虑INF的情况。
样例提出的INF是由于给出的数都是偶数，所以无法凑出奇数。
那么我们很容易发现，其实只要给出的数都是某一个数的倍数，即它们的最大公约数为k>1，那么不是k的倍数的数就无法被凑出来。
但是如果它们的最大公约数为1呢？我们无法确定。
当然，我们现在就可以将我们的发现加入到程序当中，来提高我们的得分。
那么问题来了，怎么才能求出最大公约数呢？
如果你听过我讲的上一届的省赛题，你一定会记得最后一题的解法：模拟辗转相减。
那么我们用辗转相减，就可以完成求最大公约数了。不过，其实我们有效率更高的方法：辗转相除法。
实际上，辗转相除就是将辗转相减中的多个减法连在了一起。因为一个较大数减去一个较小数直到差小于较小数为止，这种操作就等同于模运算（取余）。
它的时间复杂度是多少呢？考虑到被除数=除数*商+余数，余数小于除数，也就是说最劣情况下余数也不会超过被除数的一半。所以辗转相除法的时间复杂度是O（logn）的，其中n为被除数，也就是求最大公约数里两个数中较大的那个。

代码及运行结果

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e2 + 5, MAX_M = 5e5 + 5;
int n, a[MAX_N];
bool able[MAX_M];
// 以下这段代码被称为辗转相除法（欧几里得算法）
int gcd(int x, int y) {
    if (y == 0) return x;
    else return gcd(y, x % y);
}
bool judge(int x) {
    if (x <= 0) return false;
    if (able[x]) return true;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (x == a[i]) return able[x] = true;
        if (able[x - a[i]]) return able[x] = true;
    }
    return false;
}
int main() {
    int ans = 0, GCD = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        GCD = gcd(a[i], GCD);
    }
    if (GCD > 1) {
        printf("INF\n");
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= 5e5; i++) {
            if (!judge(i)) ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }

    return 0;
}

实际上，到目前为止，我们已经不用再往下研究了，因为这个程序足以让我们获得满分。当然，在比赛当中，如果你有充裕的时间，往下想也是理所应当的。

第八题的拓展

作为拓展内容，下面的内容会涉及到比较多的算法及数学知识。

第三种做法的正确性

首先我们来探究在给定的数最大公约数为1的情况下无法凑出的数是否是有限的。
根据上面的讲解：如果一个数可以被凑出来，那么它肯定是给定的数或者一个可以凑出来的数加上一个给定的数。
同理，如果一个数不可以被凑出来，那么它减去一个给定的数也是不能被凑出来的。
那么我们就会发现，不可以被凑出来的数在最稀疏的情况下也应该隔x出现一次（x为一个给定的数）。
我们来考虑这个性质的本质：对于x来说，所有的数其实都可以分成x类：根据对x的余数来分。
只要某类里的一个数被凑出来，那么这类数中无法被凑出来的数就一定是有限的。
这种划分出来的类被称为x的完全剩余系。
那么我们只需要考虑模x=0,1,2,3……x-1的数能不能凑出来就可以了。
很明显，如果模x=1可以被凑出来，其它就一定能被凑出来，所以我们只需要考虑这一种情况。
那么也就是说，我们考虑的是这些数凑出一个数减去若干个x能否等于1。
现在我们来学习一个新知识：裴蜀定理



以上摘自维基百科
如果你擅长离散数学，那么你会发现裴蜀定理在整环上不证自明：在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。
现在我们假设x以外的n-1个数为$y_1$，$y_2$……$y_{n-1}$。那么对于这n个数，裴蜀定理能否成立呢？
由于最大公约数这种运算本身具有结合律，所以我们将任意两个数合并，替换成它们的最大公约数，这样进行n-2次操作，就会转化为裴蜀定理的形式了。
也就是说，如果这n个数互素，那么它们凑不出来的数一定是有限个。
下一个问题，如何确定我们判断的范围呢？
考虑我们凑数的过程，实际上就是凑x的完全剩余系。
我们假定x的完全剩余系中，每个类的数被凑出来之后就不再凑这一类。
那么最大的无法凑出来的数加上x就是最后一个被凑出来的数。
所以我们考虑这里最后一个被凑出来的数，假设它是由m个给定的数相加而成。
按照顺序，我们记为$a_1$，$a_2$，$a_3$……$a_m$，并记$\sum_{i=1}^{k}a_i$为$S_k$
我们可以发现一个性质：如果$S_i$和$S_j$模x同余，那么$a_{i+1}+a_{i+2}+……a_j$就是不必要的，它们的和模x=0。
根据这个性质，我们可以得到一个结论：在最优情况下，m必定小于等于x。
这里用到了组合数学里的一个著名定理：鸽巢原理





以上摘自维基百科
我们可以发现，由于要满足每一个$S_k$都不相同，它们的数量必然不会超过x的完全剩余系的大小：x。
这样我们就可以确定无法凑出的数的上限了：x*剩余数里的最大数。
带回题中，我们考虑x不超过100，而剩余的数最大也不超过100，我们只要判断到10000即可。

动态规划

分析

我们前面提到的记忆化搜索，实际上是一种动态规划的实现形式。而动态规划，是对一类算法的总称。



以上摘自维基百科
如果一个问题可以用动态规划解决，它需要具有无后效性：每一个问题的答案只由它的子问题答案构成，未来问题的答案不会对其产生影响。
例如当前这道题：每一个可以凑出来的数只由比它小的那些数决定，比它大的数无论能不能凑出来都不会对它本身产生影响。
动态规划除去记忆化搜索以外，还有一种解法：递推，这种方法写起来会更加简便。
而递推中需要有递推式，正如记忆化搜索中的递归式。对于这道题而言，我们将每一个给定的数都更新所有的数，那些可以被凑出来的数加上给定的这个数若干倍，其和都可以被凑出来。

代码及运行结果

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e2 + 5, MAX_M = 1e4 + 5;
int n, a[MAX_N];
bool able[MAX_M];
int gcd(int x, int y) {
if (y == 0) return x;
else return gcd(y, x % y);
}
int main() {
int ans = 0, GCD = 0;
able[0] = true;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
GCD = gcd(a[i], GCD);
// 以下这段代码被称为动态规划的递推式
for (int j = 0; j + a[i] <= 1e4; j++) {
able[j + a[i]] = (able[j + a[i]] || able[j]);
}
}
if (GCD > 1) {
printf("INF\n");
}
else {
for (int i = 1; i <= 1e4; i++) {
if (!able[i]) ans++;
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

测试一下：
$\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N$

$$ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$