数据结构实验报告二：power（x,n）求幂问题、教材2.19求主元问题的求解

实验二：power（x,n）求幂问题、教材2.19求主元问题的求解

一、实验描述

用基于2和3的方式分别写出算法来求power（x,n）。分析两种算法的复杂程度，设计实验来验证想法。
基于教材（《数据结构与算法分析·c语言描述》）中的2.19题，设计并实现用分治求数组的主元的算法。如果不用分治，通过比较和计数，求复杂程度。

二、问题分析与算法设计

1.power（x,n）求幂问题：

     若按常规方法计算x的n次方，需要进行n-1次乘法运算，效率低下。现在考虑将power(x,2)的结果保留到中间变量中(以2为底的方法)，则power(x,4)=power(x,2)*power(x,2),只需两次乘法运算。再将power(x,4)的结果保留，则power(x,8)=power(x,4)*power(x,4)······按此思路，用尾递归的方法解题，在int power(x,n)函数中，若n为奇数，则返回power(x,n/2)*x,若n为偶数，则返回power(x,n/2)，这样每经过一次递归调用，问题规模减半，预计算法时间复杂度为O（log2n）。以3为底的方法同理，按n%3为0,1,2分类，每次递归调用问题规模缩小至1/3，预计算法时间复杂度为O（log3n）。

2.教材2.19求主元问题：

       问题描述（教材原文）：
       大小为N的数组A，其主要元素是一个出现次数超过N/2的元素（从而这样的元素最多有一个）。例如，数组3,3,4,2,4,4,2,4,4有一个主要元素4，而数组3,3,4,2,4,4,2,4没有主要元素。如果没有主要元素，那么你的程序应该指出来。下面是求解该问题的一个算法的概要：
       首先，找出主要元素的一个候选元（这是难点）。这个候选元是唯一有可能是主要元素的元素。第二步确定是否该候选元实际上就是主要元素，这正好是对数组的顺序搜索。为找出数组A的一个候选元，构造第二个数组B。比较A[1]和A[2]，如果它们相等，则取其中之一加到数组B中；否则什么也不做。以该方式继续下去直到读完这个数组。然后，递归地寻找B中的候选元；它也是A的候选元。
       非分治算法：设置两重循环，将数组内的每一个元素与所有元素比较，若相同，则count++,若count>n/2,则该元素为主元，返回该元素。若循环结束还未满足条件，则返回0，表示没有找到主元。预计算法时间复杂度为O（n2）.
       分治算法：采用递归，构造第二个数组B。比较A1和A2，若他们相等，则取其一加入B中，否则什么也不做。以该方式继续下去直到读完整个数组。然后对B数组重复上述操作。预计算法时间复杂度为O（n）。

三、实验方案

power（x,n）求幂问题：利用递归分别用以2为底和以3为底的方法，计算3的n次幂，输入7组大小分别为10、50、100、500、1000、5000、10000的n；
教材2.19求主元问题：设计三种测试用例判断程序对错；
定义两个时间类型变量start和end，分别用于记录一个函数执行前后的时间，将两个时间相减，便可以得到该函数的运行时间；
对于power（x,n）求幂和与教材2.19求主元问题，记录程序执行1000000次所需的时间。

四、实验实现过程

1. power（x,n）求幂问题：

（1）定义方法int power(int x,int n) //利用递归方法求解；（2）将求值函数体循环1000000次，在函数执行前，定义time_t类型的变量start=clock(); 函数执行后，加上代码：end=clock()；打印（int）(end-start) 记录函数结束时间；
（3）重复5 次实验，得到平均数据；
（4）记录相应7组实验结果并绘制相应Excel图表。
（5）附代码：

     a.以2为底：

#include <stdio.h>
#include <time.h>

static int power (int x, int n);

static int count = 0;

//********************************
static int power (int x, int n)
{
if (0 == n)
return (1);

count++;

if (n & 1)//n是奇数
{
count++;
return (power (x*x, n>>1) * x);
}

return (power (x*x, n>>1));//n是偶数
}

main ()
{
int n = 10000;
time_t start,end;
start=clock();
for(int i=0;i<1000000;i++){
power(3,n);
}
end=clock();
printf("time:%d",end-start);
//printf ("after %d multiplications  2^%d is computed as %d\n", count, n, power (1, n));
}

     b.以3为底：

#include <stdio.h>
#include <time.h>
static int count=0;
int main()
{
int power(int x,int n);
int n=9000;
time_t start,end;
start=clock();
for(int i=0;i<1000000;i++){
power(3,n);
}
end=clock();
printf("time:%d",end-start);
//printf ("after %d multiplications  3^%d is computed as %d\n", count, n, power (3, n));
}
int power(int x,int n)
{
if(0==n)
return 1;
else if(1==n)
return x;
else if(2==n)
count++;
return x*x;
else if(0==n%3)
{
count=count+2;
return power(x*x*x,n/3);
}
else if(1==n%3)
{
count=count+3;
return power(x*x*x,n/3)*x;
}
else if(2==n%3)
{
count=count+4;
return power(x*x*x,n/3)*x*x;
}
}

2. 教材2.19求主元问题：

a.分治法：

（1）附代码：#include <stdio.h>
#include <time.h>
int main(){
int find(int *array,int n);
int A[9]={3,3,4,2,2,2,9,3,4};
time_t start,end;
start=clock();
for(int i=0;i<1000000;i++)
find(A,8);
end=clock();
printf("time:%d",end-start);
printf("主元：%d",find(A,9));
}
int find(int *array,int n)
{
int length=0;
if(1==n)
return array[0];
else if(1!=n)
{
if(n&1)//array长度为奇数
{
int B[n/2+1];
int j=0;
for(int i=0;i<n-1;i+=2)
{
if(array[i]==array[i+1])
B[j++]=array[i];
}
B[j]=array[n-1];
return find(B,j+1);
}
else
{
int B[n/2];
int j=0;
for(int i=0;i<n;i+=2)
{
if(array[i]==array[i+1])
{
B[j++]=array[i];
}
return find(B,j+1);
}
}
}
else return 0;
}

b.非分治法：

（1）附代码：#include <stdio.h>
int main(){
int find(int *array,int n);
int example[8]={3,3,4,2,4,4,2,4};
printf("主元：%d",find(example,8));
}
int find(int *array,int n)
{
int count=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
count=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(array[j]==array[i])
count++;
}
if(n&1)//n为奇数
{
if(count>n/2+1)
return array[i];
}
else if(0==n%2)//n为偶数
{
if(count>n/2)
return array[i];
}
}
return 0;
}

四、实验结果

1.  power（x,n）求幂问题图表:

a.以2为底：

n(2为底)	10	50	100	500	1000	3000	5000	7000	9000	10000
time	18.6	28.2	30.2	41.8	45.0	53.4	53.6	56.6	56.0	61.8

 

b.以3为底：

n(3为底)	10	50	100	500	1000	3000	5000	7000	9000	10000
time	15	31	37.2	52.4	49.2	52.4	65.2	71.6	62	68.4

2.  教材2.19求主元问题:

测试用例： int A[9]={3,3,4,2,4,4,2,4,4,};输出：主元：4。
                  int A[8]={3,3,4,2,4,4,2,4};输出：主元：0（即无主元）。
                  intA[8]={3,3,4,2,4,4,4,4};输出：主元：4。

五，实验结论

算法时间复杂度分析：

power（x,n）求幂问题得出的n-t曲线近似为对数曲线，以2为底、以3为底的时间复杂度分别为O（log2N）与O（log3N），与预期相符。
教材2.19求主元问题所使用的三种测试用例均得出正确结果，非分治算法时间复杂度为O（N2）,分治算法时间复杂度为O（N）。