无损分解、判断是否是无损分解的方法

无损分解

对于任何表T以及它的一个函数依赖集F，T的一个分解是一个表的集合{T1，T2，…Tk}，该集合具有两个性质：

（1）对于这个集合中的每一个表Ti，Head（Ti）是Head（T）的一个子集；

（2）Head（T）=Head（T1） U Head（T2） U ….U Head（Tk）。

如果对于表T的任何内容，F中的函数依赖都保证如下关系成立，则称表T的一个分解相对于函数依赖集F是一个无损分解，有时候也称为一个无损连接分解。即满足：

T=T1 join T2 join …join Tk

注意：

无损分解的定义要求分解出的表的连接能得到原始表的信息，而这应当对原始表将来任何可能的内容成立。

定理1

给定表T和属性集X，X属于Head（T），下面的两个陈述是等价的：

（1）X是T的一个超键。

（2）X->Head（T），即属性集X函数决定了T中的所有属性。等价表述为X+ =Head（T）。

证明：

已知（1），由超键的定义可以知道，T中的X属性唯一标识一行，即任意两行在X属性上相同，则其余属性的值必定相同。也就是说若任意两行X属性相同，则这两行完全相同，即这两行在所有属性上都相同。这意味着X->Head（T）。

已知（2），X->Head（T），由函数依赖的定义可知，表T的两行不能在X上具有相同值而同时在Head（T）的属性上取不同值。这说明两个不同的行不能在X上取相同值，所有X唯一标识一行，即X是T的一个超键。

定理2

给定表T和它的有效函数依赖集F，一个把T分为两个 表{T1，T2}的分解是T的一个无损分解，当且仅当Head（T1）和Head（T2）都是Head（T）的真子集，Head（T）=Head（T1） U Head（T2）（也就是说，T的所有属性在T1或者T2中重复），同时如下函数依赖之一可以通过F推导出来：

（1）Head（T1） 交 Head（T2）->Head（T1）

或者

（2）Head（T1） 交 Head（T2）->Head（T2）

例：

给定表T，Head（T）=A B C，有函数依赖B->C。分解成表T1和T2，Head（T1）=A B，Head（T2）=B C。运用定理2，我们有Head（T1） 交 Head（T2）->Head（T2），也就是B->BC，这从B->C是显而易见的。所以该分解是无损分解。