关于《算法》上的红黑树的理解和简单实现（C代码）

关于红黑树的资料网上有很多，写这篇博客主要是记录一下自己的一些理解，也提供给大家参考。本文参考Sedgewick的《算法》所写，主要是2-3查找树到红黑树的过渡，有误的地方请大家指出。

关于红黑树的定义，《算法》和《算法导论》有些不同，这篇文章的理解和实现是针对《算法》中的定义的，如果需要看《算法导论》的实现的朋友可以参考其它资料。《算法导论》对红黑树的描述大概是这样的：
（1）每个结点或是红色，或是黑色。

（2）根结点是黑色。
（3）每个叶子结点是黑色。
（4）如果有一个结点是红色，则它的两个儿子都是黑色。
（5）对每个结点，从该结点到其孙子结点的所有路径上包含相同数目的黑色结点。
《算法》上给出的另外一种等价的定义是这样的：（1）红链接均为左链接

（2）没有任何一个结点同时和两条红链接相连
（3）该树是完美黑色平衡的，即任意空链接到根结点的路径上的黑链接数量相同
先贴一副图让大家有个印象：

        首先红黑树是平衡树的一种，但是它并不是完美平衡的（左右子树高度差最多为1，我们看右边的图可以知道），要实现一棵完美平衡树的操作要更多一些，而红黑树降低了对平衡的要求来换取更简单的操作，让插入和删除的性能更好一些。红黑树要实现的是树的黑色完美平衡，也就是上面定义的第5和第3点，意思是我们不看红色结点，剩下的就是完美平衡的了，或者说，从根开始，到每个叶子结点所经过的黑色链接数是相同的（可以数一下，上面两幅图都是3），这可以保证一棵大小是N的红黑树高度不超过2LgN（最坏的情况就是有一支是红黑红黑...），所以对每个节点的搜索都可以在LgN时间内完成。

        我们来看一下两种定义的区别，《算法》的定义进一步要求红链接都是左链接，这里解释一下。我们稍后就会看到，旋转操作并不会影响整棵树的结构，一个红链接是左链接还是右链接其实没有关系，因为红黑树要维护的是黑色完美平衡，右链接通过左旋就可以变成左链接，所以这两个定义其实是等价的。《算法》上这样定义的原因，是让红黑树和2-3树对应起来，让操作更统一，我们更容易理解（要调整的情况会少一些，但是性能上可能没那么好吧）。OK，对红黑树有了直观的印象之后，我们来看看它是怎么实现黑色完美平衡的，按照套路，我们先了解一下2-3树。

2-3查找树

2-3树是最简单的B-树，完整的定义是这样子的：
2-3查找树：一棵2-3查找树或为一棵空树，或由以下结点组成：
        -  2-结点，含有一个键（及其对应的值）和两条链接，左链接指向的2-3树中的键都小于该结点，右链接指向的2-3树中的键都大  于该结点
        -  3-结点，含有两个键（及其对应的值）和三条链接，左链接指向的2-3树中的键都小于该结点，中链接指向的2-3树中的键都位于该结点的两个键之间，右链接指向的2-3树中的键都大于该结点
还是看图更加直观（ps：这篇文章关于树的结点的图示都只画出了键，键用数字表示不代表键只能是数字）：

        结合定义可以知道，2结点就是普通的二叉树结点，3节点就是在2结点里面增加一个键，让它有3棵子树而已，当然，每棵子树都要满足大小关系，最左边的最小，中间的在中间，最右边的最大（3-结点画得这么丑是有原因的）。这里一定要指出，不是每一棵2-3树都是完美平衡的（这很正常，只是图示正好是完美平衡而已），这里介绍一种自底向上的构建方法，我们来看看要创建一棵完美平衡的2-3树的过程中会遇到什么问题：
        首先我们插入6，再插入8，这里我们遇到第一个选择，我们可以把8插入到6的子树中，也可以把8作为第二个键。这里我们的方法是把它放在第二个键的位置，让它成为一个3-结点：



        继续插入7，这里是第二个选择，我们可以把它插入到这个3-结点的任何一个子树中，这样的话就是自顶向下生长的，而我们的自底向上的方法比较特别，我们先去构造一个4-结点，然后再把这个结点分解成3个2-结点，我们规定中间的子树跟随左边的结点（其实都可以，这就是我画成这么丑的原因之一）：


        继续插入10，由于我们是自底向上生长的，所以当然得插入到最低的一层，也就是8的这个结点而不是7的旁边，同样我们得放到8的旁边，让它成为一个3-结点，而不是插入到它的子树中：


        继续插入9，按照上面的方式，将8,10这个3-结点分解成3个2-结点，于是9很自然的跑到了7的旁边，这里要注意区别，并不是将9直接放在7的旁边：


        这里我们得出规律来，我们构造完美平衡的2-3树的方法很简单，首先从上往下搜索，找到你要插入的结点应该要插入的位置，当然这个位置是最低一层的，然后从下往上，将含有的4-结点分解掉，继续插入4和5看看是不是这样子的：


        继续插入1,3,11,2 就可以得到最开始的图示的树，这里应该是比较容易理解的。我们再来观察一下这样的构造方法，在我们插入的过程中，每一步都是从最低层开始，在往上分解4-结点的过程中都没有改变树的结构，这就保证了树是完美平衡的，在搜索路径上要经过的结点（2-结点和3-结点）不会超过LgN个，准确来讲，一棵N个结点的完美平衡的2-3树的高度在Log(3,N)到LgN之间。当然了，要实现2-3树是比较复杂的，尤其是我们还要考虑到删除结点的情况，一个完全等价的而在实现上更为简单的办法就是红黑树。

2-3查找树与红黑树的对应

        要实现2-3树的一个很麻烦的地方在于，它的结点有两种，维护起来非常的不方便，红黑树的做法是将这
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两种结点统一成一种，而用一个颜色位来区分，我们来看看红黑树怎么表示3-结点（这是把3-结点画这么丑的另外一个原因）：


        很简单，用一个红色结点和上层的一个黑色结点联合起来就可以表示一个3-结点，而2-结点就是普通的黑色结点，这样就把两种结点统一起来了。我们可以回过头来看，为什么红黑树只维护黑色完美平衡，这是因为一个红色结点实际上是和上层的黑色结点在一起的，我们把红黑树铺平，就可以很直观的看出它和2-3树的对应关系了（这种对应关系是在《算法》的定义下的，如果在《算法导论》的定义下会有冲突，但也可以通过旋转还原，顺便接受一下这样的画风）：



        上面这个图是最开始的一张图，把它铺平就容易看出它的根结点到叶子结点的黑色路径是3了，这里要说明一下颜色的表示方法，因为红色结点要与上层的黑色结点相连，所以相连接的这条线是红链接，也就是说，一个结点的颜色，就是这个结点与父亲结点的链接颜色（也很正常，用子树的链接也确定不了因为有2个）。

        现在再看回定义，为什么不可能有一个结点同时有两条红链接呢？对了因为两条红链接相连就变成了一个4-结点了，那为什么一个红色结点的子结点都是黑色呢？同样是这个原因了。另外，我们看图也可以知道，规定红链接是左链接还是右链接是没有关系的，都是一个3-结点而已，他们是等价的，那怎样通过变换可以把左右链接进行转换呢，下面再解释一下什么是旋转操作。

        旋转操作其实很简单，要知道旋转是针对链接的（黑链接也可以旋转，不过对我们构造树没有帮助），将一个右链接转成一个左链接就是左旋，将一个左链接转成一个右链接就是右旋，不用多说，只要处理好子树的关系就没问题了：


        我们可以观察到，旋转操作不会改变树的结构，充其量是镜像了一下，这再次证明最开始的两种定义确实是等价的，我们马上就可以看到，通过这两种简单的操作就可以处理好构建红黑树的调整工作了。

红黑树的插入及其简单实现

        这次我们用的方法和2-3树的一样，自底向上，先找到要插入的位置，插入，重新调整树的结构这么个套路，我们也来看看在插入的过程中会遇到什么问题。由于2-3树会优先让结点成为3-结点，那我们就统一，在插入的时候总是插入红色结点（总是插入黑色结点也不是个办法），这里就遇到了第一个问题，如果这个结点在右边怎么办，也就是说现在有了一个红链接是右链接，oh那我们就左旋让它变成左链接：


        这里还要说明一点，红黑树规定根结点是黑色的，所以在调整完成后还有一步把根结点变成黑色的操作。我们继续插入9，这时8这个结点的两个子结点都是红色的，我们对应2-3树，发现这是个4-结点（这个时候树高还是1），所以我们得把它分解成3个2-结点，在红黑树里这个操作就很简单了，把子树都变成黑色就可以了（这个时候树高就是2了），然后我们把这个结点变成红色，这是因为这个结点要是要和父结点结合成为3-结点的：



        那又要问了，如果不插入9,我们插入5或者7，这样不就有两个连续的红链接了吗，哦是的，但是这也是一个4-结点呀，我们可以把上面的红链接右旋下来，再改换颜色就好了：


        插入7已经是调整工作里面最复杂的了，在一开始的8结点不可能是红链接，不然在插入7之前就已经有2条连续的红链接了，所以调整以后的红色结点7就不用考虑再换颜色的问题了。调整的工作其实就是用前面的3种方法，左旋，右旋和调整颜色，我们要调整的对象也就只是3个结点而已，我们列出所有的8种情况来看看（2x2x2）：


        仔细观察就可以知道，我们只要依次判断需不需要左旋，需不需要右旋，需不需要调整颜色就可以了，其他的情况都包含在里面了，OK套路就是这么简单，下面我们来简单的实现一下，调整的过程用递归来做会更加清晰，这里也不写键-值对了，用一个int作为结点的key，首先是数据结构（不要吐槽我的起名和c语言没有bool的问题）：struct Node
{
int key;
bool color;
Node *left;
Node *right;
};

#define BLACK false;
#define RED true;然后是刚才提到的左旋，右旋，颜色调整操作：

// 左旋操作
Node* rotateLeft(Node *p)
{
Node *temp = p->right;

p->right = temp->left;
temp->left = p;

temp->color = p->color;
p->color = RED;

return temp;
}

// 右旋操作
Node* rotateRight(Node *p)
{
Node *temp = p->left;

p->left = temp->right;
temp->right = p;

temp->color = p->color;
p->color = RED;

return temp;
}

// 颜色调整
void flipcolor(Node *p)
{
p->color = RED;
p->left->color = BLACK;
p->right->color = BLACK;
}

再要两个帮手：

// 创建一个含有key的新结点，返回该结点的指针
Node* createNode(int elem)
{
Node *p = (Node*)malloc(sizeof(Node));
p->key = elem;
p->left = nullptr;
p->right = nullptr;
p->color = RED;

return p;
}

// 判断当前结点是否为红色
bool isRed(Node*p)
{
if (p == nullptr) {
return false;  // 叶子结点为黑色
}
return p->color == RED;
}

完整的实现是这样的，注意递归调整搜索路径上的树的结构：

Node* addNode(Node *root, int elem)
{
root = insertNode(root, elem); // 递归实现插入
root->color = BLACK;  // 保证根节点一定是黑色

return root;
}

Node* insertNode(Node* p, int elem)
{
if (p == nullptr) {
return createNode(elem);
}

// 递归找到要插入的位置，相等的key则不进行任何操作
// 注意找到位置后并不是马上return，要回溯调整树的结构
if (elem > p->key) {
p->right = insertNode(p->right, elem);
}
else if (elem < p->key) {
p->left = insertNode(p->left, elem);
}

// 依次判断需不需要调整
if (isRed(p->right) && !isRed(p->left)) {
p = rotateLeft(p);
}
if (isRed(p->left) && isRed(p->left->left)) {
p = rotateRight(p);
}
if (isRed(p->left) && isRed(p->right)) {
flipcolor(p);
}

return p;
}

        看过代码之后可能就会更加清晰了，那我们再来看一个问题，有没有可能出现没有红色结点的红黑树呢？也就是说红黑树的插入过程中，有没有可能使得红黑树变成一个完美平衡的树？当然是有可能的，只有一个根结点，和一个根结点加两个黑色子结点的情况在上面都出现过了，那有没有大一点的？这里就创建一棵大一点的完美平衡树，再来看一下红黑树是怎么调整的树的结构的：






        上面这棵树不就又变成了一棵完美平衡树了吗，其实这棵树早就见过了，就是最开始的2-3树的例子，只是key不同罢了，这里面包含所有红黑树插入要调整的情况了，有兴趣的朋友也可以尝试将它变成非递归的版本。

写到这里似乎有点长，关于红黑树的删除下一篇再写吧。