【数据结构】二叉搜索树

1.BinarySearchTree的性质

一个节点的左子树只能包含键值小于该节点键值的节点

一个节点的右子树只能包含键值大于该节点键值的节点

左子树和右子树必须也是BST

按照中序遍历得到的是从小到大排列的序列

2.为什么用BST

对节点的数据进行一定的约束，使得最坏情况下平均搜索的时间复杂度降低至O(log2n)

3.二叉搜索树的结构

public class BST{
private static class BSTNode{
public int data;
public BSTNode left;
public BSTNode right;
public BSTNode(int data, BSTNode left, BSTNode right){
this.data = data;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
private BSTNode root;
}

4.在以p为根节点二叉搜索树中查找元素

//查找元素（递归）
public BSTNode search(BSTNode p, int data){
if(p == null){
return null;
}
if(data < p.getData()){
return search(p.left, data);
}
if(data > p.getData()){
return search(p.right, data);
}
return p; //等于时，即找到该节点，直接返回
}

//查找元素（非递归）
public BSTNode search(BSTNode p, int data){
while(p != null){
if(data == p.getData()){
return p;
}
if(data < p.getData()){
p = p.left;
}
if(data > p.getData()){
p = p.right;
}
}
return null;
}

5.在以p为根节点的二叉搜索树中寻找最小元素

public BSTNode min(BSTNode p){
if( p == null){
return null;
}
while(p.left != null){
p = p.left;
}
return p;
}

6.在以p为根节点的二叉搜索树中寻找最大元素

public BSTNode max(BSTNode p){
if( p == null){
return null;
}
while(p.right != null){
p = p.right;
}
return p;
}

7.在以p为根节点的二叉搜索树中插入元素

//与查找元素逻辑体类似
public BSTNode insert(BSTNode p, int data){
if(p == null){
p = new BSTNode(data, null, null);
return p;
}
if(data < p.getData()){
p.left = insert(p.left, data);
}
if(data > p.getData()){
p.right = insert(p.right, data);
}
return p; //插入元素在二叉排序树中存在时，不处理，返回该元素
}

8.在以p为根节点的二叉搜索树中删除元素

/**
* ①删除的是叶子节点
*  此时和②合并同样处理
*
* ②删除的是有一个孩子的节点
*  让该节点双亲直接指向孩子节点
*
* ③删除的是有两个孩子的节点
*  将其左子树最大值赋值给这个节点（或者右子树最小值）
*  递归直到只有一个孩子节点按②操作
*
*  @param p 想要执行删除操作的树的根节点
*  @param data 想要删除的节点的元素值
*  @return 二叉排序树p执行删除后的根节点p
*/
public BSTNode remove(BSTNode p, int data){
BSTNode temp;
if(p == null){
throw new NoSuchElementException("the element is not exist");
}else if(data < p.getData()){
p.left = remove(p.left, data); //类似这种递归方式，避免了没有指向双亲节点指针的尴尬
}else if(data > p.getData()){
p.right = remove(p.right, data);
}else{      /*找到该节点*/
//2个孩子节点
if(p.left != null && p.right != null){
temp = max(p.left);
p.setData(temp.getData());
p.left = remove(p.left, p.getData());
}else{
//1个孩子节点
if(p.left == null){
p = p.right;
}else{      /*此处包括叶子节点情况*/
p = p.left;
}
}
}
return p;
}

9.平衡二叉搜索树

高度平衡树：用HB(k)表示，k为左右子树高度差，k是平衡因子

完全平衡二叉搜索树：HB(0)，此时保证树为完全二叉树