数据结构之树（四）——二叉树的操作（理论篇）

二叉树的存储结构

顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系。
根据完全二叉树的性质5（不懂的可以看这里），对于一般的二叉树，可以将其按完全二叉树编号，只不过，把不存在的结点设置为“^”而已。如图：



注意：结点D，F，H，用NULL表示。但这样对于一些极端情况，例如斜树，显然是对存储空间的浪费。所以，顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

链式存储结构——二叉链表

二叉树每个结点最多有俩个孩子，所以设计一个数据域和俩个指针域。我们称这样的链表叫做二叉链表。如图：



其中data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

//树结点的数据类型，目前暂定为字符型
typedef char TElemType;
//二叉树的二叉链表结点结构定义
typedef struct BiTNode {
//结点数据
TElemType data;
//左右孩子指针
struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

二叉树的遍历

二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且进被访问一次。

二叉树遍历的方法

前序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如图，遍历顺序为：ABDGHCEIF



中序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树。如图：遍历的顺序为：GDHBAEICF



后序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。如图，遍历的顺序为：GHDBIEFCA



层序遍历：如树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。如图：遍历的顺序为：ABCDEFGHI

算法实现

先序遍历

//二叉树的先序遍历递归算法
void PreOrderTraverse(BiTree T) {
if (T == NULL) {
return;
}
//显示结点数据，可以更改为其他对结点操作
printf("%c", T->data);
//再先序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->lchild);
//最后先序遍历右子树
PreOrderTraverse(T->rchild);
}

中序遍历

//二叉树的中序遍历递归算法
void InOrderTraverse(BiTree T) {
if (T == NULL) {
return;
}
//中序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->lchild);
//显示结点数据，可以更改为其他对结点操作
printf("%c", T->data);
//最后中序遍历右子树
PreOrderTraverse(T->rchild);
}

后序遍历

//二叉树的后序遍历递归算法
void PostOrderTraverse(BiTree T) {
if (T == NULL) {
return;
}
//后序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->lchild);
//再后序遍历右子树
PreOrderTraverse(T->rchild);
//显示结点数据，可以更改为其他对结点操作
printf("%c", T->data);
}

二叉树遍历性质

（1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树；
（2）已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树；
（3）已知前序遍历序列和后序遍历序列，不可以唯一确定一棵二叉树；

二叉树的建立

我们要在内存中建立如图的树：



为了让每个结点确定是否有左右孩子，需对其进行扩展，也就是将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值，比如“#”。我们称这种处理后的二叉树为原二叉树的扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历序列确定一棵二叉树了。如图，前序遍历序列为AB#D##C##。



我们把前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入：

#include "stdlib.h"
#include "math.h"
/* 按前序输入二叉树中结点的值（一个字符） */
/* #表示空树，构造二叉链表表示二叉树T。 */
void CreateBiTree(BiTree *T)
{
TElemType ch;

scanf_s("%c",&ch);

if (ch == '#')
*T = NULL;
else
{
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
if (!*T)
exit(OVERFLOW);
(*T)->data = ch; /* 生成根结点 */
CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
}
}

若用中序遍历或后序遍历的方式实现二叉树的建立，只不过代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交换一下。另外，输入的字符也要做相应的更改。如中序遍历字符串就应该为#B#D#A#C#，而后序字符串应该为###DB##CA。