【模线性方程】POJ 2115

原文地址，感谢大神。

原文。

题目链接

题意：转化成c * x = b - a mod (2 ^ k)，解这个模线性方程的最小正整数解即可 

Sample Input 

3 3 2 16 

3 7 2 16 

7 3 2 16 

3 4 2 16 

0 0 0 0 

Sample Output 

0 

2 

32766 

FOREVER 

解方程：ax == b (mod n);【ax % n == b % n】 

设线性模方程的一个解为x0 

条件①：有d = gcd(a, n) 

条件②：有d = ax1 + ny, 由扩展欧几里得(Egcd)得到x1的值 

条件③：b % d == 0 (有解的条件) 
对条件③进行解释： 

原方程化为：ax + kn = b (设k为某一整数) 

那么如果a与n的最大公约数为d，那么ax + kn 必然可以提取一个d的因子，也就是说b必然有d这个因子，所以如果b%d!=0，说明b没有d这因子，与前面的结论相互矛盾，所以无解 

则x0 = x1*(b/d); 

证明： 

因为：容易求得d = gcd (a, n), 则存在一个x1、y使得d = ax1 + ny①(扩展欧几里得定理，这个都不会的话，说明你数论还没入门) 

方程①2边同时模n得：d % n == ax1 % n② 

又因为：b % d == 0, 即b是d的倍数; 

所以(b/d)必为整数; 

所以由②得： b % n == d*(b/d) % n == ax1*(b/d) % n == ax % n 

所以很容易可以看出x = x1*(b/d)是方程的一个整数解，得证 

参考文献：

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
//#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
//#include <ctime>
#include <ctype.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define inf 0x3fffffff

LL Egcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y) //扩展欧几里得
{
if (b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
LL d = Egcd (b, a%b, x, y);
LL tp = x;
x = y;
y = tp - a/b*y;
return d;
}

void MLE (LL a, LL b, LL n) //解模线性方程
{
LL d, x, y;
d = Egcd (a, n, x, y);
if (b % d)
{
puts ("FOREVER");
return ;
}
LL x0 = x * (b/d);
LL t = n / d;
if (t < 0) t = -t; //以防万一，有的题目t有可能是负数
x0 = (x0 % t + t) % t;
//防止负数出现，所以先模后加再模，再模是因为如果是正数，+n/d可能会超出n/d
//对于无数个解形成的一群余数：周期个数是d，周期长度是n/d，也就是最小正整数解在n/d里，这个听老师说过，但是忘了为什么，涉及到群的概念……
printf ("%lld\n", x0);
}

int main()
{
LL a, b, c, k;
while (scanf ("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &k), (a||b||c||k))
MLE (c, b-a, 1LL<<k);
return 0;
}