数据结构——算法、算法的时间复杂度和空间复杂度

什么是算法

·算法是解决特定问题求解，步骤的描述在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个后多个操作。（就是你解决一道数学问题一步一步的求解的过程，在计算机中就是写程序时一条一条的指令）。

·算法设计的要求：正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低

时间复杂度

定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的复杂度就是算法的时间量度，记做：T（n）=O（f（n））。他表示随着问题规模n的增大，算法执行时间按的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。

这样用大O（）记述时间复杂度的方法被称为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T（n）增长最慢的算法为最优算法。（要注意是增长）

推导大O阶方法

1.用常数1取代运行时间中所有的加法常数。

2.在修改的运行函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

看

常数阶

先看下面这个代码

int sum = 0,  n = 100;/*执行一次*/
sum = (n + 1) * 100 / 2;/*执行一次*/
printf("%d", sum);/*执行一次*/

整除算法的运行函数是f（n）=3，根据大O推导法将常数3改为1，没有最高次项，所以时间复杂度就为O（1）。

不管n是多少，这种运行次数是恒定的，执行时间也是恒定的算法，（不会随着n的增大，而发生变化）我们称之为具有O（1）的时间复杂度，又叫常数阶。

线性阶

线性阶的循环结构较为复杂，要想分析其时间复杂度，要搞清楚循环结构的循环情况。

int i, sum = 0;
for(i = 1; i < n; i++)

这个循环结构要执行n次，所以他的时间复杂度为O（n）。

对数阶

int count = 1;
while( count < n)
{
count = count * 2;
}

当count >= n时，也就是说有多少个2相乘后大于或等于n，就可以跳出循环，就是2^x=n,x = log2n,这个循环的时间复杂度为（logn）。（这里把2去掉是个啥意思？）

平方阶

下面的例子是循环嵌套，

int i, j;
for(i = 0; i <n; i++)
{
for(j = 0; j < n; j++)
{
}
}

内循环要循环n次，外循环也要循环n次，所以这个循环的嵌套的次数一共是 n*n=n^2次，其时间复杂度为O（n^2）。

再看下面这个例子

int i, j;
for(i = 0; i < m; i++)
{
for(j = 0; j < n; j++)
{
}
}

这个循环体的时间复杂度等于循环体的复杂度（m）乘以循环体的运行次数（n）就是O（m * n）。

再再看下面的例子

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++)
{
for(j = i; j < n; j++)
{
}
}

当i = 0时，内循环执行了n次，i=1时，内循环执行了n - 1次，以此类推，

n + (n - 1)+(n - 2) + ( n - 3 )+……1=1/2（n^2+n）(这是个等差数列，根据等差数列的求和公式可得出）,按照大O推导法，只保留最高次项的n^2/2，去除最高次项相乘的常数就是0（n^2)。