《剑指offer》面试题10:斐波那契数列(含矩阵乘法解法)
2017-11-04 14:20
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斐波那契数指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三个数开始,之后的每一个数都由它前的两数相加得到。
我们知道在编程中我们可以用递归和迭代两种方法求指定的斐波那契数,但这两种方法各有利弊。
区别:递归法(时间复杂度O(2^n))写出来的代码可读性强,就相当于把书上的数学公式 翻译成代码,但这种方法效率太慢了,当你求第50个斐波那契数,你的电脑可能得运算十多分钟。而且递归很容易造成栈溢出,每调用一次函数就得开辟一块空间,而求第50个斐波那契数所调用函数的次数是令人发指,同样的那在栈上开辟的空间大小也就可想而知,栈溢出就很正常了。
迭代法:(时间复杂度O(N))相对而言迭代法的运算效率就高的多了,迭代是通过循环来求的,只要创建3个临时变量,就能很快的求出斐波那契数,而且速度快的一匹(那怕求第100斐波那契数也只是一瞬间的事),但迭代法的代码可读性较弱,而且初学者也不容易写出这种代码。
下面就是这两种方法的具体实现代码:
斐波那契数列求解高阶版:基于矩阵乘法(时间复杂度O(logn))
数学公式参考下面文章:
http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/48014523
< code C>
扩展题:青蛙跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳1级台阶,也可以跳2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解题思路:
有1级台阶:那就只有一种跳法;
有2级台阶:有两种跳法;
有n级台阶:此时n>=2,那第一跳时只有两种跳法。
①第一跳跳1级台阶,那跳法数目就是后面的n-1级台阶的跳法数目;
②第二跳跳2级台阶,那跳法数目就是后面的n-2级台阶的跳法数目;
③所以不同跳法的总数目 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
< code >
青蛙跳台阶进阶题:如果这只青蛙一次能跳1级台阶,也能跳2级台阶……也能跳n级台阶,那他跳一个n级的台阶,共有几种跳法?
解题思路:
< code >
这里还有一个扩展题:铺瓷砖,于上面一题大同小异。
斐波那契数指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三个数开始,之后的每一个数都由它前的两数相加得到。
我们知道在编程中我们可以用递归和迭代两种方法求指定的斐波那契数,但这两种方法各有利弊。
区别:递归法(时间复杂度O(2^n))写出来的代码可读性强,就相当于把书上的数学公式 翻译成代码,但这种方法效率太慢了,当你求第50个斐波那契数,你的电脑可能得运算十多分钟。而且递归很容易造成栈溢出,每调用一次函数就得开辟一块空间,而求第50个斐波那契数所调用函数的次数是令人发指,同样的那在栈上开辟的空间大小也就可想而知,栈溢出就很正常了。
迭代法:(时间复杂度O(N))相对而言迭代法的运算效率就高的多了,迭代是通过循环来求的,只要创建3个临时变量,就能很快的求出斐波那契数,而且速度快的一匹(那怕求第100斐波那契数也只是一瞬间的事),但迭代法的代码可读性较弱,而且初学者也不容易写出这种代码。
下面就是这两种方法的具体实现代码:
<递归法:> #include <stdio.h> #include <windows.h> int fib(int num) { if (num <= 2) return n; else return fib(num - 1) + fib(num - 2); }
<迭代法:> #include <stdio.h> #include <windows.h> int fib(int num) { int n1 = 1; int n2 = 1; int sum = 1; while (num > 2) //这里当num<=2时,不进行运算,直接返回sum的值 { sum = n1 + n2; n1 = n2; n2 = sum; num--; } return sum; }
斐波那契数列求解高阶版:基于矩阵乘法(时间复杂度O(logn))
数学公式参考下面文章:
http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/48014523
< code C>
typedef struct Matrix2By2 { long long m00; long long m01; long long m10; long long m11; }Matrix2By2; Matrix2By2 Mul(Matrix2By2 matrix1, Matrix2By2 matrix2) { Matrix2By2 ret; ret.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10; ret.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11; ret.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10; ret.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11; return ret; } Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) { Matrix2By2 Init = { 1, 1, 1, 0 }; Matrix2By2 ret; if (1 == n) { ret = Init; } else if (0 == (n & 1)) { ret = MatrixPower(n / 2); //偶数处理 ret = Mul(ret, ret); } else if (1 == (n & 1)) { ret = MatrixPower((n - 1) / 2); //奇数处理 ret = Mul(ret, ret); ret = Mul(ret, Init); } return ret; } long long Fibonacci(unsigned int n) { if (n < 2) return n; else { Matrix2By2 ret = MatrixPower(n - 1); return ret.m00; } }
扩展题:青蛙跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳1级台阶,也可以跳2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解题思路:
有1级台阶:那就只有一种跳法;
有2级台阶:有两种跳法;
有n级台阶:此时n>=2,那第一跳时只有两种跳法。
①第一跳跳1级台阶,那跳法数目就是后面的n-1级台阶的跳法数目;
②第二跳跳2级台阶,那跳法数目就是后面的n-2级台阶的跳法数目;
③所以不同跳法的总数目 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
< code >
long long JumpStep(unsigned int n)//递归 { if (n <= 2) return n; else return jump_step(n - 1) + jump_step(n - 2); } long long JumpStep(unsigned int n)//非递归 { if (n <= 2) return n; long long n1 = 1; long long n2 = 2; long long sum = 0; int i = 2; while (n > 2) { sum = n1 + n2; n1 = n2; n2 = sum; n--; } return sum; }
青蛙跳台阶进阶题:如果这只青蛙一次能跳1级台阶,也能跳2级台阶……也能跳n级台阶,那他跳一个n级的台阶,共有几种跳法?
解题思路:
< code >
long long est_jum_step(unsigned int n)//非递归 { if (n <= 2) return n; else { n -= 2; long long sum = 2; while (n > 0) { sum *= 2; n--; } return sum; } } long long est_jum_step(unsigned int n)//递归 { if (n <= 2) return n; else return 2*est_jum_step(n - 1); }
这里还有一个扩展题:铺瓷砖,于上面一题大同小异。
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