时间和空间复杂度<二>

前面已经介绍了时间空间复杂度的具体计算，这里将结合具体代码来详细分析时间和空间复杂度。

例1

void print(void){
for(i = 0; i < n;i ++)// 执行n次
for(j = 0; j < n;j ++)// 执行n次
printf("hello world\n")// 执行?次
}

时间复杂度：
由于执行次数最多语句为printf("hello world\n")，当i=0执行n次，i=1执行n次，当i=2执行n次,....，因此printf("hello world\n")执行次数为n+n+..+n=n^2，所以复杂度为O(n^2)=O(n^2)

空间复杂度: 

只有调用函数才使用栈，所以执行次数为1，所以复杂度为O(1)

例2

void print(void){
for(i = 0; i < n;i ++)// 执行n次
for(j = i; j < n;j ++)// 执行n次
printf("hello world\n")// 执行?次
}

时间复杂度：
执行最多语句为printf("hello world\n")，当i=0执行n次，当i=1执行n-1，当i=2执行n-2次，...，因此执行printf("hello world\n")次数为n+(n-1)+(n-2)+..+1=(n+1)n/2，所以复杂度为O((n+1)n/2)=O(n^2)

空间复杂度：

不存在额外空间分配/使用，所以复杂度O(1)

例3

static int n, *p
;
void print(void){
for(i = 0; i < n;i ++)// 执行n次
for(j = i; j < n;j ++)// 执行n次
*p[j] = malloc(sizeof(int))// 执行?次
}

时间复杂度：

执行最多语句为*p[j] = malloc(sizeof(int))，当i=0执行n次，当i=1执行n-1，当i=2执行n-2次，...因此执行*p[j] = malloc(sizeof(int))次数为n+(n-1)+(n-2)+..+1=(n+1)n/2，所以复杂度为O((n+1)n/2)=O(n^2)

空间复杂度：
分配空间最多语句为*p[j] = malloc(sizeof(int))，当i=0执行n次，当i=1执行n-1，当i=2执行n-2次，...因此执行*p[j] = malloc(sizeof(int))次数为n+(n-1)+(n-2)+..+1=(n+1)n/2，所以复杂度为O((n+1)n/2)=O(n^2)

例4

long f(int n){
if(n == 0) return 1;
else return f(n-1);
}

时间复杂度：

执行最多语句为return f(n-1)，求f(n)先求f(n-1)一次，求f(n-1)先求f(n-2)一次，求f(n-2)先求f(n-3)一次，...，因此return f(n-1)执行1+1..+1=n，复杂度O(n)

空间复杂度：
分配空间最多语句为f函数调用，求f(n)先求f(n-1)压栈一次，求f(n-1)先求f(n-2)压栈一次,求f(n-2)先求f(n-3)压栈一次,...,因此f压栈总共1+1...+1=n，复杂度O(n)

例5

int i = 1, n = 100;
while( i < n )
i = i * 2;

时间复杂度：

执行最多语句为while( i < n ) i = i * 2，分析可知执行若干次2相乘然后循环退出，设循环次数为x，那么则有2^x=n，得到x=(log2)n，总共执行次数为(log2)n+(log2)n=2((log2)n)，所以复杂度为O(2((log2)n))=O((log2)n)

空间复杂度：
不存在额外使用/分配空间，所以O(1)

例6

int f(int n){
if( n == 1) return 1;
else return n * f(n-1);
}

时间复杂度：

执行最多语句为return n * f(n-1)，求f(n)先求f(n-1)一次，求f(n-1)先求f(n-2)一次，求f(n-2)先求f(n-3)一次，...，因此return n * f(n-1)执行1+1..+1=n，复杂度O(n)

空间复杂度：

分配空间最多语句为f函数调用，求f(n)先求f(n-1)压栈一次，求f(n-1)先求f(n-2)压栈一次,求f(n-2)先求f(n-3)压栈一次,...,因此f压栈总共1+1...+1=n，复杂度O(n)

总结：

判断执行最多语句，计算次数之和，最后仅保留最高阶数