◆竞赛题目◆◇NOIP2016普及组◇ 魔法阵
2017-10-25 13:37
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◇NOIP2016 普及组◇魔法阵
Description六十年一次的魔法战争就要开始了,大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。
大魔法师有m个魔法物品,编号分别为1,2,…,m。每个物品具有一个魔法值,我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数,可能有多个物品的魔法值相同。
大魔法师认为,当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa < xb < xc < xd,Xb - Xa = 2 ( Xd - Xc ),并且 xb - xa < ( xc - xb ) / 3时,这四个魔法物品形成了一个魔法阵,他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品,B物品,C物品,D物品。
现在,大魔法师想要知道,对于每个魔法物品,作为某个魔法阵的A物品出现的次数,作为B物品的次数,作为C物品的次数,和作为D物品的次数。
Input
输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。
接下来m行,每行一个正整数,第i+1行的正整数表示Xi,即编号为i的物品的魔法值。
保证1≤n≤15000,1≤m≤40000,1≤Xi≤n。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。
Output
共输出m行,每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。
保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。
每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。
Sample Input
30 8 1 24 7 28 5 29 26 24
Sample Output
4 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 0
题目解析
对于这道NOIP普及组的第四题,毕竟有些难度。于是大多数人追求的是骗分,而在比赛后做这道题,我们了解到了正解——仍然是枚举。
首先涉及一定的 数学分析 。看到:“Xa < Xb < Xc < Xd,Xb - Xa = 2 ( Xd - Xc ),并且 Xb - Xa < ( Xc - Xb ) / 3”,我们可以先整合一下:
先把 Xb−Xa=2(Xd−Xc) 代入 Xb−Xa<(Xc−Xb)/3,得到 2(Xd−Xc)<(Xc−Xb)/3,再同时乘3,得 6(Xd−Xc)<Xc−Xb;
我们把它用几何语言解释一下,就是:在数轴上,a 到 b 的距离是 d 到 c 的距离的2倍;6倍的 c 到 d 的距离小于 b 到 c 的距离;
我们把 d 到 c 的距离记为 i ,那么 b−a=2i,c−b>6i,d−c=i
表现在数轴上:
由于C++最方便计算整数,因此 >6i我们可以略为6i+1 。因此我们就得到 c−b=6i+1。
再回到程序上——首先是几个数组:
1. 在这里物品的序号并没有任何的影响,我们可以用 int 数组 magic[i] 表示魔法值为i的物品的总数; 2. 还需要一个存答案的 int 数组 ans[i][j] 表示魔法值为i的物品作为 a,b,c,d(0,1,2,3)的次数;
先枚举i的值。因为 d<=n ,所以 d−a<=n,即 2i+i+6i+1<=n,就得到了i的范围 i<=(n−1)/9,因为 i=n/9 时对答案没有任何影响,我们可以写成 i<=n/9。
由于确定了a就可以确定b,确定了d就可以确定c,根据组合数学的乘法原理,我们可以用一个前缀和sum变量来存储每一个a的值所对应的 c*d 的前缀和或每一个d的值所对应的 a*b 的前缀和。又由于 a 与 b 相关, c 与 d 相关,于是就可以求得每一个a或d的值所对应的物品应用次数。
不多说,看代码。
程序样例
/*Lucky_Glass*/ /*$魔法阵$*/ #include<cstdio> #include<vector> #include<algorithm> #define M_max 15000 #define T_max 40000 using namespace std; int read(){int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();while('0'<=ch && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x;}//读入优化 int magic[M_max+5]; int T_num,M_num,ans[M_max+5][4],F[T_max+5]; int main() { scanf("%d%d",&M_num,&T_num); for(int i=1;i<=T_num;i++) F[i]=read(),magic[F[i]]++; for(int i=1;i<=M_num/9;i++) { for(int d=i*9+2,sum=0;d<=M_num;d++) { int c=d-i,b=d-7*i-1,a=d-9*i-1; sum+=magic[a]*magic; ans[c][2]+=magic[d]*sum; ans[d][3]+=magic[c]*sum; } for(int a=M_num-i*9-1,sum=0;a>=1;a--) { int b=a+2*i,c=a+8*i+1,d=a+9*i+1; sum+=magic[c]*magic[d]; ans[a][0]+=magic[b]*sum; ans[b][1]+=magic[a]*sum; } } for(int i=1;i<=T_num;i++) printf("%d %d %d %d\n",ans[F[i]][0],ans[F[i]][1],ans[F[i]][2],ans[F[i]][3]); return 0; }
[b]The End
Thanks for reading!
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