【纯代码向】 运用优先队列对拓补排序的实现

在这篇文章里，我想贴出我的拓补排序代码与分析，讲一讲它是如何从最慢的方法（O（n方））变到理论上最优的方法（O（n））的。

分析

首先，我们需要知道我们面对什么样的问题：我们需要每次找出出度为零（倒序）或者入度为零（正序）的节点，删除这个点后，将这个节点与“父结点”相连的边删除，重复该步骤直到无点可删。
那么第一种方法就出来了。

方案一 逐次检索

每一次我们删除一个点，就去寻找一次图上是否有出度为零的点，这样时间为n方，会浪费大量时间在不必要的搜索上。但相对比较好写，故此不贴出代码，不提倡。

方案二 检查，入队

请大家思考一些问题：有什么点，它原本的出度不为0，然而经过了一次删边之后，出度就变化为0了呢？答案是，那些跟删除的那些点相连，出度为1的点。因为每次删除只会影响到这些点，其他店的出度是不变的，所以我们只需在这中间找即可。

类似于广搜，我们用一个队列（stack[xx]）储存出度为零的点。

int stack[20005],be[20005];//be[xx]储存点的出度
vector <int> son[20005];//vector 作为邻接表
int p1=0,p2=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(be[i]==0) stack[++p2]=i;
while(++p1<=p2){
int h=stack[p1];
for(int i=son[h].size()-1;i>=0;i--)
{
int k=son[h][i];
if(--be[k]==0) stack[++p2]=k；
}
}

不难看出，因为每次操作，我们都可以删去一条边，所以这个算法的时间复杂度是O（m）的，但仍不是我们理想的结果，因为每次都要进行一次判断，常数可能很大。

接下来，就是我们的最终解法。

方案三 优先队列

优先队列真是太好用了！感觉这东西后面会用的很多，而的确是这样，所以请确保你能独立打出优先队列的模板（可以去看我的前一篇博客，堆）。

数据结构

我们需要这几个东西：

- 出度最小的点队列（有序）——优先队列 因为我们需要优化，所以不能在每次循环后去寻找入度为零的点，而是应当排序。注意，这里的优先队列也得使用结构体，因为我们要记录原先这个点的位置。

- 每个节点的出度

- 每个点的父结点

- 点的访问情况 **运用优先队列，会导致一个点重复进出队列，为了不重复，我们需要用一个数组来判断是否访问过。

using namespace std;
struct node{
int du,pos;
bool operator < (const node& x)const{
if(du>x.du) return true;
return false;
}
};
priority_queue<node> Q;

这里是结构体里的东西，注意重载运算符，这是优先队列的前提。

void readit()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
for(int a,b,i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
fa.push_back(a);
chu[a]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
Q.push((node){chu[i],i});
}

读入数据的过程，我用vector fa
来存储父结点。

while(!Q.empty()){
node x=Q.top();Q.pop();
int k=x.pos;
if(vis[k]) continue;
if(x.du!=0) break;
vis[k]=true;
//doit(k);         放你想做的事吧
for(int i=fa[k].size()-1;i>=0;i--)
{
int p=fa[k][i];
chu[p]--;
Q.push((node){chu[p],p});
}
}

这是主程序的部分。注意的点有两个：首先，要以优先队列非空作为判断的依据，这是为了避免运行错误的基准条件，任何数据结构一定要判断是否超了下界。

其次，是判断这个点的度是否为零：如果不为零，而因为这又是度最小的那一个，那么说明[b]该图有环，情况错误，退出。剩下的是一些无关紧要的东西了，都可以在我之前的文章里找到。

尾声

这一点内容也结束了，虽然不多，但感觉写起来很累。效率是否过低？我开始理解为什么很多大大们分析完思路就直接贴代码了。下一次我会酌情改进，那么再见，你的支持是我的动力（之一），莫忘评论指出我的不足，谢谢！

2017.10.24