排序算法（四）堆排序的Python实现及算法详解

一、前言

如果需要Java版本的堆排序或者堆排序的基础知识——树的概念，请参看本人博文《排序算法（二）堆排序》

关于选择排序的问题

选择排序最大的问题，就是不能知道待排序数据是否已经有序，比较了所有数据也没有在比较中确定数据的顺序。
堆排序对简单选择排序进行了改进。

二、准备知识

堆：它是一个完全二叉树
大顶堆：每个非叶子结点都要大于或者等于其左右孩子结点的值称为大顶堆





小顶堆：每个非叶子结点都要小于或者等于其左右孩子结点的值称为小顶堆




三、算法思路
堆排序大致可以分为下面几个步骤：
1、构建完全二叉树
将原始数据放入完全二叉树中
2、构建大顶堆
需要选择起点结点，选择下一个结点，以及如何调整堆
3、排序
将堆顶数据依次拿走，生成排序的树，最后用层序遍历就可以难道所有的排序元素

四、算法实现

（一）构建完全二叉树

待排序数字为 30,20,80,40,50,10,60,70,90
构建一个完全二叉树存放数据，并根据性质5对元素编号，放入顺序的数据结构中
构造一个列表为[0,30,20,80,40,50,10,60,70,90]，用它来描述完全二叉树




（二）打印树（辅助函数）

为了方便观察，生成一个打印列表为树结构的函数，方便观察树结点的变动，不属于算法函数
为了适应不同的完全二叉树，这个打印函数还需要特殊处理一下。

思路：
第一行取1个，第二行取2个，第三行取3个，以此类推
投影来思考一个类栅格系统，就可以很好的打印这个树了

import math
def print_tree(array):
'''
深度 前空格 元素间空格
1     7       0
2     3       7
3     1       3
4     0       1
'''
index = 1
depth = math.ceil(math.log2(len(array))) # 因为补0了，不然应该是math.ceil(math.log2(len(array)+1))
sep = '  '
for i in range(depth):
offset = 2 ** i
print(sep * (2 ** (depth - i - 1) - 1), end='')
line = array[index:index + offset]
for j, x in enumerate(line):
print("{:>{}}".format(x, len(sep)), end='')
interval = 0 if i == 0 else 2 ** (depth - i) - 1
if j < len(line) - 1:
print(sep * interval, end='')
index += offset
print()
print_tree([0, 30, 20, 80, 40, 50, 10, 60, 70, 90, 22])
print_tree([0, 30, 20, 80, 40, 50, 10, 60, 70, 90, 22, 33, 44, 55, 66, 77])
print_tree([0, 30, 20, 80, 40, 50, 10, 60, 70, 90, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 11])

（三）构建大顶堆

核心算法
对于堆排序的核心算法就是堆结点的调整

1. 度数为2的结点A，如果它的左右孩子结点的最大值比它大的，将这个最大值和该结点交换
2. 度数为1的结点A，如果它的左孩子的值大于它，则交换
3. 如果结点A被交换到新的位置，还需要和其孩子结点重复上面的过程

核心算法实现如下：

# 为了和编码对应，增加一个无用的0在首位
origin = [0, 30, 20, 80, 40, 50, 10, 60, 70, 90]
total = len(origin) - 1  # 初始待排序元素个数，即n
print(origin)
print_tree(origin)
def heap_adjust(n, i, array: list):
'''
调整当前结点(核心算法)
调整的结点的起点在n//2，保证所有调整的结点都有孩子结点
:param n: 待比较数个数
:param i: 当前结点的下标
:param array: 待排序数据
:return: None
'''
while 2 * i <= n:
# 孩子结点判断 2i为左孩子，2i+1为右孩子
lchile_index = 2 * i
max_child_index = lchile_index  # n=2i
if n > lchile_index and array[lchile_index + 1] > array[lchile_index]:  # n>2i说明还有右孩子
max_child_index = lchile_index + 1  # n=2i+1
# 和子树的根结点比较
if array[max_child_index] > array[i]:
array[i], array[max_child_index] = array[max_child_index], array[i]
i = max_child_index  # 被交换后，需要判断是否还需要调整
else:
break
# print_tree(array)
heap_adjust(total, total // 2, origin)
print(origin)
print_tree(origin)

到目前为止也只是解决了单个结点的调整，下面要使用循环来依次解决解决比起始结点编号小的结点。

起点的选择
从最下层最右边叶子结点的父结点开始

由于构造了一个前置的0，所以编号和列表的索引正好重合
但是，元素个数等于长度减1

下一个结点
按照二叉树性质5编号的结点，从起点开始找编号逐个递减的结点，直到编号1

# 构建大顶堆、大根堆
def max_heap(total,array:list):
for i in range(total//2,0,-1):
heap_adjust(total,i,array)
return array
print_tree(max_heap(total,origin))

（四）排序

思路

1. 每次都要让堆顶的元素和最后一个结点交换，然后排除最后一个元素，形成一个新的被破坏的堆。
2. 让它重新调整，调整后，堆顶一定是最大的元素。
3. 再次重复第1、2步直至剩余一个元素

def sort(total, array:list):
while total > 1:
array[1], array[total] = array[total], array[1] # 堆顶和最后一个结点交换
total -= 1
heap_adjust(total,1,array)
return array
print_tree(sort(total,origin))

改进
如果最后剩余2个元素的时候，如果后一个结点比堆顶大，就不用调整了。

def sort(total, array:list):
while total > 1:
array[1], array[total] = array[total], array[1] # 堆顶和最后一个结点交换
total -= 1
if total == 2 and array[total] >= array[total-1]:
break
heap_adjust(total,1,array)
return array
print_tree(sort(total,origin))

五、算法分析

1、利用堆性质的一种选择排序，在堆顶选出最大值或者最小值
2、时间复杂度
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)
由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感，因此它无论是最好、最坏和平均时间复杂度均为O(nlogn)
3、空间复杂度
只是使用了一个交换用的空间，空间复杂度就是O(1)
4、稳定性

不稳定的排序算法

六、完整代码

如果有需要，请自行将算法函数封装成类。

import math
def print_tree(array):
'''
前空格元素间
170
237
313
4   01
'''
index = 1
depth = math.ceil(math.log2(len(array))) # 因为补0了，不然应该是math.ceil(math.log2(len(array)+1))
sep = '  '
for i in range(depth):
offset = 2 ** i
print(sep * (2 ** (depth - i - 1) - 1), end='')
line = array[index:index + offset]
for j, x in enumerate(line):
print("{:>{}}".format(x, len(sep)), end='')
interval = 0 if i == 0 else 2 ** (depth - i) - 1
if j < len(line) - 1:
print(sep * interval, end='')
index += offset
print()
# Heap Sort
# 为了和编码对应，增加一个无用的0在首位
origin = [0, 30, 20, 80, 40, 50, 10, 60, 70, 90]
total = len(origin) - 1  # 初始待排序元素个数，即n
print(origin)
print_tree(origin)
print("="*50)
def heap_adjust(n, i, array: list):
'''
调整当前结点(核心算法)
调整的结点的起点在n//2，保证所有调整的结点都有孩子结点
:param n: 待比较数个数
:param i: 当前结点的下标
:param array: 待排序数据
:return: None
'''
while 2 * i <= n:
# 孩子结点判断 2i为左孩子，2i+1为右孩子
lchile_index = 2 * i
max_child_index = lchile_index  # n=2i
if n > lchile_index and array[lchile_index + 1] > array[lchile_index]:  # n>2i说明还有右孩子
max_child_index = lchile_index + 1  # n=2i+1
# 和子树的根结点比较
if array[max_child_index] > array[i]:
array[i], array[max_child_index] = array[max_child_index], array[i]
i = max_child_index  # 被交换后，需要判断是否还需要调整
else:
break
# print_tree(array)
# 构建大顶堆、大根堆
def max_heap(total,array:list):
for i in range(total//2,0,-1):
heap_adjust(total,i,array)
return array
print_tree(max_heap(total,origin))
print("="*50)
# 排序
def sort(total, array:list):
while total > 1:
array[1], array[total] = array[total], array[1] # 堆顶和最后一个结点交换
total -= 1
if total == 2 and array[total] >= array[total-1]:
break
heap_adjust(total,1,array)
return array
print_tree(sort(total,origin))
print(origin)