详解Dijkstra算法(含数学证明和优化)
2017-10-12 21:18
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Dijkstra算法简介:
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Edsger Wybe Dijkstra于1959年提出的一种解决有向加权图中单源最短路问题的算法,其中要求加权图中不可有负权边。Dijkstra算法步骤演示:
以如下的一张有向正权图G为例,规定:起点为A
向量xy→表示从顶点x到顶点y的有向边
向量的模∣∣xy→∣∣表示有向边xy→的权值
初始状态:
设起点到各点当前最短距离为Lk(k=A,B,C,D,E),则有:
LA=0
并设此时
LB至LE=+∞
则可列表:
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
初始状态 | 0 | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ |
从起点A点出发,更新起点到A的邻居(B、C、D)的当前最短距离(Lk)。此时:
对B:
LB=∣∣∣AB→∣∣∣=10对C:
LC=∣∣∣AC→∣∣∣=3对D:
LD=∣∣∣AD→∣∣∣=20
则可列表:
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
第一次迭代后 | 0 | 10 | 3 | 20 | +∞ |
找出第一次迭代后除已处理过的起点A外,Lk最小的点:C
从C出发,更新C邻居(B、E)的Lk值,此时:
对B:
经过C到达B的路径长度:
L=LC+∣∣∣CB→∣∣∣=5∵LB=10>L∴更新LB=L=LC+∣∣∣CB→∣∣∣=5
对E:
经过C到达E的路径长度:
L=LC+∣∣∣CE→∣∣∣=18∵LE=+∞>L∴更新LE=L=LC+∣∣∣CE→∣∣∣=18
则可列表:
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
第二次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 20 | 18 |
找出第二次迭代后,除已处理过的A、C两点外,Lk最小的点:B
从B出发,更新B邻居(D)的Lk值,此时:
对D:
经过B到达D的路径长度:
L=LB+∣∣∣BD→∣∣∣=10∵LD=20>L∴更新LD=L=LB+∣∣∣BD→∣∣∣=10
则可列表:
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
第三次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 10 | 18 |
找出第三次迭代后,除已处理过的A、B、C三点外,Lk最小的点:D
从D出发,更新D邻居(E)的Lk值,此时:
对E:
经过D到E的路径长度:
L=LD+∣∣∣DE→∣∣∣=21∵LE=18<L∴不必更新,LE=18
则可列表:
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
第四次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 10 | 18 |
找出第四次迭代后,除已处理过的A、B、C、D四点外,Lk最小的点:E
此时,E没有邻居,因此对E的处理直接结束
则可列表:
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
第五次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 10 | 18 |
LA | LB | LC | LD | LE | |
---|---|---|---|---|---|
初始状态 | 0 | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ |
第一次迭代后 | 0 | 10 | 3 | 20 | +∞ |
第二次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 20 | 18 |
第三次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 10 | 18 |
第四次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 10 | 18 |
第五次迭代后 | 0 | 5 | 3 | 10 | 18 |
所以,依据算法每找到一个顶点后,该顶点对应的Lk值就是起点到该点的最短路径长度,且Lk在这之后不会被更改。
而最后一次迭代得到的所有Lk的值,就是由起点(亦称源点)A到各点的最短路径长度。
故Dijkstra算法解决的是有向图中的单源最短路问题。
算法概括:
步骤概括:第一个核心步骤:找到当前未处理过的顶点中Lk最小的点V,(由于起点到起点的消耗为0,所以算法开始时V必定代表起点);
第二个核心步骤:若V有邻居,则计算经过V的情况下起点到达各邻居的消耗L,并选择是否更新V邻居的Lk值。若没有邻居则对该点的处理结束
重复以上两个核心步骤,直到满足算法终止的条件:有向图中所有的点都被处理过。
流程图:
Created with Raphaël 2.1.0开始找到符合条件的V更新V的所有邻居图中所有顶点都被找到过?结束yesno
数学描述及证明
Dijkstra算法的数学描述:设全集U:有向图中所有的点的集合。
设点集S :已经找到最短路径的点的集合,初始状态下设仅有 起点∈S。
设点集Q:还未找到最短路径的点的集合,显然Q=U−S。
设Lk为当前情况下,起点经过S中若干点到点k的最短距离(k∈U),初始L起点=0,其他均为+∞。
算法开始:
从起点开始,沿某条弧(设权值为arcs)找到起点的一个邻居n
令Ln=min{Ln,L起点+arcs}
按此方式更新起点所有邻居
在集合Q中找到Lk最小的点v,则Lv即起点到v的最短路径长度
将点v从Q中取出加入S,对点v重复上述所有操作
如此重复,直到S=U,即Q=∅时,算法结束,Lk即为从起点到各点的最短路径长度
提醒:这里读者一定要反复仔细体会Lk的含义,它不断更新的过程正是Dijkstra算法“由近及远,层层扩展”特点的体现。同时思考一下之前提过的“找到一个点后,该点Lk值肯定不会被更改”的原因(理解Lk的含义后,原因其实是显而易见的)。
Dijkstra算法的数学证明:
由算法的数学描述,可知:
只有命题:“每次从Q集中找到Lk最小的点v,Lv即为从起点到v的最短路径长度”正确时,算法正确。
可用广义数学归纳法证明,设起点为o:
证明:算法找到的第一个点为v1,Lv1即为从起点到v1的最短路径长度。
用反证法:
∵算法找到的第一个点一定是起点o最近的邻居
假设Lv1不是从起点到v1的最短路径长度
则∃点v,使得∣∣ov→∣∣<∣∣ov1→∣∣,与已知矛盾
故假设不成立,子命题得证
证明:已用算法从Q中依次找到了v1,v2,⋯,vk共k个点,且Lv1,Lv2,⋯,Lk是起点到各点的最短路径长度,则此时从Q中依照算法再找一个点vk+1,Lk+1即为起点到vk+1的最短路径长度。
用反证法:
假设Lk+1不是起点到vk+1最短路径的长度
所以设起点到vk+1的最短路径经过的点的集合为V,路径长度为L,则有L<Lk+1
∵由Lk的含义⇒V∩Q≠∅
又∵o∈V且o∈S⇒V∩S≠∅
则设到vk+1的最短路径中,最靠近vk+1且不属于S的点为vx,vx的后继为vy
∵有向图中边均为正权边
∴必有Lvx<Lvy⩽L,vy为vk+1时等号成立
又∵vx∉S⇒Lvx>Lk+1,产生矛盾
故假设不成立,子命题得证
综上所述,该命题得证,故算法正确。
关于负权边
Dijkstra算法要求有向图中不得有负权边,如果图中有负权边,则在之前的证明过程中:∵Lvx<Lvy不一定成立(Lvy⩽L依然成立)
∴Lvx>Lk+1不一定成立
故此时算法正确性不得证。
这里举一个简单的例子供读者自行对照理解:
时间复杂度
设有向图中,共有V个顶点,E条边。传统Dijkstra算法中主要操作有:
每次从Q集中找到Lk最小的点,最坏情况下需:
(V−1),(V−2),⋯,1
次操作。
所以整个算法过程共需:
(V−1)+(V−2)+⋯+1=(v−1)v2=V22−12
次操作。
计算并更新各点邻居的Lk值,实质上是将所有的边遍历一遍,故需E次操作。
则用大O表示法:
O(V22−12+E)⇔O(n2)
故传统Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)
Dijkstra算法的优化
在上述对于传统Dijkstra算法的时间复杂度分析中,我们可知,(尤其是稀疏图中)从Q集中找到Lk最小的点的过程极大影响了算法的性能,这个过程在顶点无序状态下需要O(n2)的复杂度。因此对于顶点的有效排序可以大大地提高算法的性能,常用的方法有:小顶堆或优先队列:
小顶堆优化中,我们初始将所有顶点设置为一个小顶堆,此时堆顶一定为起点,而在每一次迭代中,我们将堆顶元素取出(复杂度O(1)),而后调整小顶堆(复杂度O(logn)),这样调整V次,直到堆中所有顶点全部加入S。则整个算法的时间复杂度将从O(n2)优化为O(nlogn)。
优先队列优化中,建立一个最小优先的优先级队列,队列中保存顶点和当前Lk值的二元组,初始将起点二元组入队,每当某个顶点的Lk值被更新,则将这个新的顶点二元组入队,每次迭代时,将队首元素取出并出队,直到队列为空。由于优先队列一般采用堆实现,故维护优先队列的复杂度同为O(logn),则整个算法的时间复杂度同被优化为O(nlogn)。
注意:优先队列优化中,新的顶点二元组入队时,旧的二元组依然在优先队列中,因此每次出队的元素可能会有杂音,如何识别并去除这些杂音是这种优化方式需要考虑的。
关于无向图
事实上,Dijkstra算法同样可以处理无向图中的单源最短路问题(无向图其实可看做一种特殊的有向图),但在这种情况下,要对算法做一些修改:标记已经访问过的边,在寻找邻居时不沿已标记过的边寻找。关于空间复杂度
Dijkstra算法的空间复杂度视具体实现方法而定,采用邻接矩阵的存图方式的空间复杂度为O(n2),然而在稀疏图中,这种存储方式将有大量的空间浪费,因此推荐使用邻接表和有关标志数组存图。算法具体代码实现多种多样,留作读者自行思考,在此不再赘述。
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