快速排序实现以及时间复杂度分析

原文：http://www.cnblogs.com/fengty90/p/3768827.html

之前只知道快速排序的平均时间复杂度为O（n×log（n）），最糟糕时复杂度为O（n^2），但却不知道具体原因，今天好好证明一下，最后部分摘自《算法导论》。

首先再介绍一遍快排的思想：

通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序的目的。

1、最优情况

在最优情况下，Partition每次都划分得很均匀，如果排序n个关键字，其递归树的深度就为 [log2n]+1（ [x] 表示不大于 x 的最大整数），即仅需递归 log2n 次，需要时间为T（n）的话，第一次Partiation应该是需要对整个数组扫描一遍，做n次比较。然后，获得的枢轴将数组一分为二，那么各自还需要T（n/2）的时间（注意是最好情况，所以平分两半）。于是不断地划分下去，就有了下面的不等式推断：



n/4 n/8都是等于1，所以式子转化为nT(1)

这说明，在最优的情况下，快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。

2、最糟糕情况

然后再来看最糟糕情况下的快排，当待排序的序列为正序或逆序排列时，且每次划分只得到一个比上一次划分少一个记录的子序列，注意另一个为空。如果递归树画出来，它就是一棵斜树。此时需要执行n‐1次递归调用，且第i次划分需要经过n‐i次关键字的比较才能找到第i个记录，也就是枢轴的位置，因此比较次数为 ，最终其时间复杂度为O(n^2)。

3、一般情况

最后来看一下一般情况，平均的情况，设枢轴的关键字应该在第k的位置（1≤k≤n），那么：



本来想按这种思路推导出来，结果发现半天推不出结果，最后去翻阅《算法导论》7.4节，发现证明过程还是蛮复杂的，我就偷懒贴一下好了~











下面参考： http://m.blog.csdn.net/yuanba_xs/article/details/61932665
快速排序思想：

1.选择数组左边第一个元素为枢轴pivot，把数组所有元素比pivot大的放在数组右边，比pivot小的放在左边

（复杂度为O(n)欧(n)）

2.对pivot左右两边的序列分别进行快速排序。

平均时间复杂度分析：

T(1) = 1;(1个时间单位(比如计算一个数排序需要的时间))

T(n) = 2*T(n/2) + a*n;(a为常数，每次合并时，复杂度为O(n))

= 2*(2*T(n/4)+a*n/2) + a*n

= 4*T(n/4) + 2*a*n

= 4*(2*T(n/8)+a*n/4) + 2*a*n

= 8*T(n/8) + 3*a*n

=......

= 2^k*T(1) + k*a*n  (其中n==2^k,即k=log2(n))

= n + a*n*log2(n);

所以时间复杂度为O(nlogn) 欧(nlogn)

注意：对左右分别快排时，可能出现一遍元素个数为0，这是最坏情况，此时时间复杂度为O(n^2)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 10005
using namespace std;

int a
;

void Qsort(int a[], int s, int e)
{
if (s >= e)//待排元素个数<1
return;

int pivot = a[s], i = s, j = e;
while (i < j)
{
while (i < j && a[j] >= pivot)
j--;
swap(a[i], a[j]);
while (i < j && a[i] <= pivot)
i++;
swap(a[i], a[j]);
}
Qsort(a, s, i - 1);
Qsort(a, i + 1, e);
}

int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
Qsort(a, 0, n - 1);//待排数组,以及序列下标始末位置。
for (int i = 0; i < n; i++)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
return 0;
}