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计算机视觉基础5——本质矩阵与基本矩阵(Essential and Fundamental Matrices)

2017-09-28 11:05 1556 查看
回顾本质矩阵的定义





 



本质矩阵的基本性质:





结合成像的几何关系

      



Longuet-Higgins equation





注意大小写的区别哦,大小表示物点矢量,小与表示像点矢量。

像平面上的一点可以看作:

• (u,v) 2D film point(局限于像平面上来考虑)

• (u,v,f) 3D point on film plane(相机坐标系中来考虑)

• k(u,v,f) viewing ray into the scene(透过像点和原点射线上点的像,相机坐标系中来考虑)

• k(X, Y, Z) ray through point P in the scene(在世界坐标系中来考虑)



l为像平面上的一直线:

















au+bv+c=0

由点线结合关系可得:





因此有





这样就可以用几何的观点来解释上述方程:左像平面上的一点



pl乘以本质矩阵

E,结果为一条直线,该直线就是



pl的极线,且过



pl在右像平面上的对应点



pr。这个结论十分喜人。

同理有





• Remember: epipoles belong to the epipolar lines





• And they belong to all the epipolar lines





关于本质矩阵的关系总结如下:





本质矩阵采用的是相机的外部参数,也就是说采用相机坐标(The essential matrix uses CAMERA coordinates),如果要分析数字图像,则要考虑坐标(u,v),此时需要用到内部参数(To use image coordinates we must consider the INTRINSIC camera parameters)





从像素级来考虑,有如下关系





short version: The same equation works in pixel coordinates too!

矩阵

F称为基本矩阵:























F=Mr−TRSMl−1

• has rank 2

• depends on the INTRINSIC and EXTRINSIC Parameters (f, etc ; R & T)

Analogous to essential matrix. The fundamental matrix also tells how pixels (points) in each image are related to epipolar lines in the other image.

例子:



 





 





 















F∗el=0,并根据下图,where
is the epipole? vector in the right nullspace of matrix 

F,即

F的右零空间。当然



el是非零向量,也就是说











F∗el=0有非零解,说明矩阵

F不是满秩的,或者说它是奇异的,However,
due to noise,F may not be singular.So instead, next best thing is eigenvector associated with smallest eigenvalue of F。





>> [u,d] = eigs(F’ * F)

u =

-0.0013 0.2586 -0.9660

0.0029 -0.9660 -0.2586

1.0000 0.0032 -0.0005

d = 1.0e8*

-1.0000 0 0

0 -0.0000 0

0 0 -0.0000

eigenvector associated with smallest eigenvalue

>> uu = u(:,3)

uu = ( -0.9660 -0.2586 -0.0005)

>> uu / uu(3) : to get pixel coords

(1861.02 498.21 1.0)

 

where is the epipole?







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