神经网络与深度学习（4）

0. 写在前面

从这一节开始，我们就进入到了第二周的学习，这才是真正的内容。

1. 约定符号

在我们开始讲logistic回归问题时，我们需要对一些符号进行一定的约定，这样非常有助于后面的理解（这是真的，尤其是在Tensorflow或者CNTK等框架中，同样是这样的表述）。

首先，logistic回归问题是一个二分类问题，即给定一些输入，输出只会有0或者1，正如下图所示，判断图片里的内容只有是不是猫两种答案。



虽然我们称图片为非结构化数据，但是它并非没有结构，在计算机中，它是以Red、Green、Blue三种颜色的矩阵存储的（这只是其中一种编码，RGB编码，其实还有其他编码方式），就如同下图所示，那么如果是把这个作为输入的话，那么我们会把所有单元内的数排列成一个长长的向量。



就如同那个X所示，假设每张图片有64*64那么个大小（图片里展示的只是一个5*4的示例），那么所有的数字数目为12288，即x的维度是12288维，在我们约定的符号里，使用n表示样本的维度。而m表示样本的个数，并把所有的样本集统一为一个大矩阵，其中样本以列形式存储，即如图所示。



这样我们使用X作为输入集合，也就是样本集。那么输出也是用矩阵的形式存储，即一个1*m大小的矩阵。



这样在接下来的讲解中，我们会更加清晰。

2. logistic回归

2.1 logistic函数与神经元

正如上面讲的，我们首先从logistic回归开始讲起。logistic回归是一个二分类的问题，例如给一张图片，然后判断是不是猫。输入和输出如第一节中所讲的X和y,那么我们希望有这样一个函数，能够表示出这样一个过程。即：y^=P(y=1|X)，我们想知道y^。那么最简单的线性拟合的话，就如下公式所示（所有的大写都是向量，小写是标量）：

y^=WTX+b

但是这样并不是一个非常好的二元分类方法，因为y^是一个概率值，它介于0和1之间。而现在这个数值有可能非常大，也有可能为负值。那么这时候就需要一个sigmoid函数来约束值域。

sigmoid函数为：σ(z)=11+e−z

其函数图像如下图所示：



它值域在0-1之间，在x=0时，y=0.5。而在两端分别趋近于0和1。这样就可以约束值域了。（事实上，这也是可以加快收敛速度的一种方法）

这样整体函数就变为：σ(y^)这如果形象一点的话，前面的y^就是一个求和单元，而后面的σ(z)就是一个激活函数，这样其实就已经是一个完整的神经元了。下面我们进入最神秘的训练环节。

2.2损失函数与成本函数

如果要训练，那么首先要知道训练的目标是什么。当然，训练的目标就是使得我们的模型输出和真实输出尽可能的一致，即y^和y尽可能一致。那么具体怎么做呢。对于单个样本来说，我们称衡量这个一致的标准为损失函数。通常的，可以使用0-1损失函数，即：

L(y^,y)=12(y^−y)2

但是这个函数是非凸的，也就是会存在很多局部最优解，这样梯度下降法就找不到最优值。因此，通常在梯度下降法中，都是用log损失函数：

L(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))

这其实是和0-1损失函数目的是一样的，只不过看起来怎么这么怪呢，其实它就是交叉熵的具体表现形式。也就是想让y^和y的交叉熵最小，从而间接的达成两者一致。

而对于所有样本来说，衡量这个模型的好坏取决于成本函数，成本函数则是所有样本损失和的平均值，只有这个越小，才能证明整个模型性能越好。

2.3梯度下降法

梯度下降法看起来是一个非常神秘又非常重要的东西，但事实上，梯度下降法首先应当知道梯度是什么。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

其实就是说，它是整个场中在所有方向都考虑在内的下降最快的方向。也就是说，如果这是一个单变量的函数的话，它其实就是导数。下面两幅图能够直观的理解一下什么是梯度。





在w,b二变量的三维空间中，我们要找的就是尽可能的到达最低的那个红点，因为我们可以看到这个高度表示的是成本函数，我们是要使得成本函数最小，而且是更快的到达那个最低点，这就是顺着梯度下降最快。

而在下图的w一变量的二维空间中，这就变成了顺着导数下降最快。

如果用数学公式来体现的话：

w:=w−α∂J(w,b)∂w

b:=b−α∂J(w,b)∂b

事实上，w一般也是一个向量，也就是多变量，因此我们这里使用偏导数是没有问题的。（吴恩达建议使用dw的形式，因为它觉得一方面编码容易，另一方面也没有什么实质差距那个偏导符号其实就是花体的d）

这里还有一个α，指的是学习率，也就是说一次移动的规格大概是多少，通常是一个小于1的数，这就是相当于步子有多大，如果步子太大，有可能就错过了最佳点，如果步子太小，那么有可能迭代次数过多，而且容易陷入局部最优点。

现在回想一下整个过程，其实是非常理所当然的事情，正如我们扔飞镖一样，如果我们第一次往左偏了，那么我们下一次就有可能朝着相反的方向修正，而修正多达幅度，一方面看自己偏了多少，二是看自己策略（是慢慢靠近中心，还是先来个大幅度改进）。

当然，吴恩达的视频中，还是很详尽的介绍了梯度下降法与导数。这里我们不多介绍，在下一节中，我们会给出最直观的图像来结束我们的梯度下降法。