数据结构：图的存储、图的遍历、最小生成树、最短路径、拓扑排序

一、基本术语

图：由有穷、非空点集和边集合组成，简写成G(V,E);

Vertex：图中的顶点；

无向图：图中每条边都没有方向；

有向图：图中每条边都有方向；

无向边：边是没有方向的，写为(a,b)

有向边：边是有方向的，写为<a,b>

有向边也成为弧；开始顶点称为弧尾，结束顶点称为弧头；

简单图：不存在指向自己的边、不存在两条重复的边的图；

无向完全图：每个顶点之间都有一条边的无向图；

有向完全图：每个顶点之间都有两条互为相反的边的无向图；

稀疏图：边相对于顶点来说很少的图；

稠密图：边很多的图；

权重：图中的边可能会带有一个权重，为了区分边的长短；

网：带有权重的图；

度：与特定顶点相连接的边数；

出度、入度：对于有向图的概念，出度表示此顶点为起点的边的数目，入度表示此顶点为终点的边的数目；

环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；

简单环：除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；

连通图：任意两个顶点都相互连通的图；

极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；

连通分量：极大连通子图的数量；

强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；

生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；

最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；

AOV网：结点表示活动的网；

AOE网：边表示活动的持续时间的网；

二、图的存储结构

1.邻接矩阵

维持一个二维数组，arr[i][j]表示i到j的边，如果两顶点之间存在边，则为1，否则为0；

维持一个一维数组，存储顶点信息，比如顶点的名字；

下图为一般的有向图：



注意：如果我们要看vi节点邻接的点，则只需要遍历arr[i]即可；

下图为带有权重的图的邻接矩阵表示法：



缺点：邻接矩阵表示法对于稀疏图来说不合理，因为太浪费空间；

2.邻接表

如果图示一般的图，则如下图：



如果是网，即边带有权值，则如下图：

3.十字链表

只针对有向图；，适用于计算出度和入度；

顶点结点：

边结点：



好处：创建的时间复杂度和邻接链表相同，但是能够同时计算入度和出度；

4.邻接多重表

针对无向图； 如果我们只是单纯对节点进行操作，则邻接表是一个很好的选择，但是如果我们要在邻接表中删除一条边，则需要删除四个顶点（因为无向图）；

在邻接多重表中，只需要删除一个节点，即可完成边的删除，因此比较方便；

因此邻接多重表适用于对边进行删除的操作；

顶点节点和邻接表没区别，边表节点如下图：

比如：

5.边集数组

适合依次对边进行操作；

存储边的信息，如下图：

三、图的遍历

DFS

思想：往深里遍历，如果不能深入，则回朔；

比如：



[java] view plain copy print?/**
* O(v+e)
*/
@Test
public void DFS() {
for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {
if (!visited[i]) {
DFS_Traverse(g, i);
}
}
}
private void DFS_Traverse(Graph2 g, int i) {
visited[i] = true;
System.out.println(i);
EdgeNode node = g.nodes[i].next;
while (node != null) {
if (!visited[node.idx]) {
DFS_Traverse(g, node.idx);
}
node = node.next;
}
}

/**
* O(v+e)
*/
@Test
public void DFS() {
for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {
if (!visited[i]) {
DFS_Traverse(g, i);
}
}
}

private void DFS_Traverse(Graph2 g, int i) {
visited[i] = true;
System.out.println(i);
EdgeNode node = g.nodes[i].next;
while (node != null) {
if (!visited[node.idx]) {
DFS_Traverse(g, node.idx);
}
node = node.next;
}
}

BFS

思想：对所有邻接节点遍历；

[java] view plain copy print?<span style=“white-space:pre”> </span>/**
* O(v+e)
*/
@Test
public void BFS() {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {
if (!visited[i]) {
visited[i] = true;
list.add(i);
System.out.println(i);
while (!list.isEmpty()) {
int k = list.remove(0);
EdgeNode current = g.nodes[k].next;
while (current != null) {
if (!visited[current.idx]) {
visited[current.idx] = true;
System.out.println(current.idx);
list.add(current.idx);

}
current = current.next;
}
}

}
}
}

/**
* O(v+e)
*/
@Test
public void BFS() {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {
if (!visited[i]) {
visited[i] = true;
list.add(i);
System.out.println(i);
while (!list.isEmpty()) {
int k = list.remove(0);
EdgeNode current = g.nodes[k].next;
while (current != null) {
if (!visited[current.idx]) {
visited[current.idx] = true;
System.out.println(current.idx);
list.add(current.idx);

}
current = current.next;
}
}

}
}
}

四、最小生成树

prim

邻接矩阵存储；

[java] view plain copy print?<span style=“white-space:pre”> </span>/**
* 时间复杂度为O(n^2)
* 适用于稠密图
*/
@Test
public void prim(){
int cost[] = new int[9];
int pre[] = new int[9];

for(int i=0;i<g1.vertex.length;i++){
cost[i] = g1.adjMatrix[0][i];
}
cost[0] = 0;

for(int i=1;i<g1.vertex.length;i++){
int min = 65536;
int k = 0;
for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){
if(cost[j]!=0&&cost[j]<min){
min = cost[j];
k = j;
}
}
cost[k] = 0;
System.out.println(pre[k]+”,”+k);
for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){
if(cost[j]!=0&&g1.adjMatrix[k][j]<cost[j]){
pre[j] = k;
cost[j] = g1.adjMatrix[k][j];
}
}
}
}

/**
* 时间复杂度为O(n^2)
* 适用于稠密图
*/
@Test
public void prim(){
int cost[] = new int[9];
int pre[] = new int[9];

for(int i=0;i<g1.vertex.length;i++){
cost[i] = g1.adjMatrix[0][i];
}
cost[0] = 0;

for(int i=1;i<g1.vertex.length;i++){
int min = 65536;
int k = 0;
for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){
if(cost[j]!=0&&cost[j]<min){
min = cost[j];
k = j;
}
}
cost[k] = 0;
System.out.println(pre[k]+","+k);
for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){
if(cost[j]!=0&&g1.adjMatrix[k][j]<cost[j]){
pre[j] = k;
cost[j] = g1.ad
15162
jMatrix[k][j];
}
}
}
}

krustral

边集数组存储；

[java] view plain copy print?<span style=“white-space:pre”> </span>/**
* 时间复杂度：O(eloge)
* 适用于稀疏图
*/
@Test
public void krustral(){
Edge[] edges = initEdges();
int parent[] = new int[9];
for(int i=0;i<edges.length;i++){
Edge edge = edges[i];
int m = find(parent,edge.begin);
int n = find(parent,edge.end);
if(m!=n){
parent[m] = n;
System.out.println(m+”,”+n);
}
}

}
private static int find(int[] parent, int f) {
while (parent[f] > 0) {
f = parent[f];
}
return f;
}

/**
* 时间复杂度：O(eloge)
* 适用于稀疏图
*/
@Test
public void krustral(){
Edge[] edges = initEdges();
int parent[] = new int[9];
for(int i=0;i<edges.length;i++){
Edge edge = edges[i];
int m = find(parent,edge.begin);
int n = find(parent,edge.end);
if(m!=n){
parent[m] = n;
System.out.println(m+","+n);
}
}

}
private static int find(int[] parent, int f) {
while (parent[f] > 0) {
f = parent[f];
}
return f;
}

五、最短路径

dijkstra算法

邻接矩阵存储；
[java] view plain copy print?<span style=“white-space:pre”> </span>//O（n^2）
@Test
public void Dijkstra(){
int distance[] = new int[9];
int pre[] = new int[9];
boolean finished[] = new boolean[9];
finished[0] = true;
for(int i=0;i<9;i++){
distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];
}
int k = 0;
for(int i=1;i<9;i++){
int min = 65536;
for(int j=0;j<9;j++){
if(!finished[j]&&distance[j]<min){
min = distance[j];
k = j;
}
}
finished[k] = true;
System.out.println(pre[k]+”,”+k);
for(int j=1;j<9;j++){
if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){
distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];
pre[j] = k;
}
}
}
}

//O（n^2）
@Test
public void Dijkstra(){
int distance[] = new int[9];
int pre[] = new int[9];
boolean finished[] = new boolean[9];
finished[0] = true;
for(int i=0;i<9;i++){
distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];
}
int k = 0;
for(int i=1;i<9;i++){
int min = 65536;
for(int j=0;j<9;j++){
if(!finished[j]&&distance[j]<min){
min = distance[j];
k = j;
}
}
finished[k] = true;
System.out.println(pre[k]+","+k);
for(int j=1;j<9;j++){
if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){
distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];
pre[j] = k;
}
}
}
}

Floyd

使用：
(1)邻接矩阵：存储图；

[java] view plain copy print?<span style=“white-space:pre”> </span>/**
* O(n^3)
* 求出任意顶点之间的距离
*/
@Test
public void floyd(Graph1 g) {
int i, j, k;
int length = g.vertex.length;
int dist[][] = new int[length][length];
int pre[][] = new int[length][length];
for (i = 0; i < g.vertex.length; i++) {
for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {
pre[i][j] = j;
dist[i][j] = g.adjMatrix[i][j];
}
}
for (i = 0; i < length; i++) {
for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {
for (k = 0; k < g.vertex.length; k++) {
if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
pre[i][j] = pre[i][k];
}
}
}

}
System.out.println();
}

/**
* O(n^3)
* 求出任意顶点之间的距离
*/
@Test
public void floyd(Graph1 g) {
int i, j, k;
int length = g.vertex.length;
int dist[][] = new int[length][length];
int pre[][] = new int[length][length];
for (i = 0; i < g.vertex.length; i++) {
for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {
pre[i][j] = j;
dist[i][j] = g.adjMatrix[i][j];
}
}
for (i = 0; i < length; i++) {
for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {
for (k = 0; k < g.vertex.length; k++) {
if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
pre[i][j] = pre[i][k];
}
}
}

}
System.out.println();
}

六、拓扑排序

使用数据结构：

(1)栈：用来存放入度为0的节点；

(2)变种邻接列表：作为图的存储结构；此邻接列表的顶点节点还需要存放入度属性；

[java] view plain copy print?/**
* O(n+e)
*/
private static String topologicalSort(Graph2 g2) {
Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();
int count = 0;
for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){
if(g2.nodes[i].indegree==0){
s.push(i);
}
}
while(!s.isEmpty()){
int value = s.pop();
System.out.println(value+”、”);
count++;
EdgeNode node = g2.nodes[value].next;
while(node!=null){
g2.nodes[node.idx].indegree–;
if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){
s.push(node.idx);
}
node = node.next;
}

}
if(count<g2.nodes.length){
return “error”;
}
return “ok”;
}

/**
* O(n+e)
*/
private static String topologicalSort(Graph2 g2) {
Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();
int count = 0;
for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){
if(g2.nodes[i].indegree==0){
s.push(i);
}
}
while(!s.isEmpty()){
int value = s.pop();
System.out.println(value+"、");
count++;
EdgeNode node = g2.nodes[value].next;
while(node!=null){
g2.nodes[node.idx].indegree--;
if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){
s.push(node.idx);
}
node = node.next;
}

}
if(count<g2.nodes.length){
return "error";
}
return "ok";
}

七、关键路径

使用数据结构：
(1)变种邻接列表：同拓扑排序；
(2)变量：
ltv表示某个事件的最晚开始时间；
etv表示事件最早开始时间；
ete表示活动最早开始时间；
lte表示活动最晚开始时间；

[java] view plain copy print?<span style=“white-space:pre”> </span>//O（n+e）
<span style=”white-space:pre”> </span>@Test
public void CriticalPath(){

Stack<Integer> stack = topological_etv();
int length = stack.size();
if(stack==null){
return ;
}
else{
int[]ltv = new int[length];
for(int i=0;i<stack.size();i++){
ltv[i] = etv[stack.size()-1];
}
//从拓扑排序的最后开始计算ltv
while(!stack.isEmpty()){
int top = stack.pop();
EdgeNode current = g.nodes[top].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
//最晚发生时间要取所有活动中最早的
if((ltv[idx]-current.weight)<ltv[top]){
ltv[top] = ltv[idx]-current.weight;
}
}
}
int ete = 0;
int lte = 0;
for(int j=0;j<length;j++){
EdgeNode current = g.nodes[j].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
ete = etv[j];
lte = ltv[idx]-current.weight;
if(ete==lte){
//是关键路径
}
}
}

}

}
private Stack<Integer> topological_etv(){
Stack<Integer> stack2 = new Stack<Integer>();
Stack<Integer>stack1 = new Stack<Integer>();
for(int i=0;i<g.nodes.length;i++){
if(g.nodes[i].indegree==0){
stack1.add(i);
}
}
etv[] = new int[g.nodes.length];
int count = 0;
while(!stack1.isEmpty()){
int top = stack1.pop();
count++;
stack2.push(top);

EdgeNode current = g.nodes[top].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
if((–g.nodes[idx].indegree)==0){
stack1.push(idx);
}
if((etv[top]+current.weight)>etv[idx]){
etv[idx] = etv[top]+current.weight;
}
current = current.next;
}
}
if(count<g.nodes.length){
return null;
}
return stack2;
}

//O（n+e）
@Test
public void CriticalPath(){

Stack<Integer> stack = topological_etv();
int length = stack.size();
if(stack==null){
return ;
}
else{
int[]ltv = new int[length];
for(int i=0;i<stack.size();i++){
ltv[i] = etv[stack.size()-1];
}
//从拓扑排序的最后开始计算ltv
while(!stack.isEmpty()){
int top = stack.pop();
EdgeNode current = g.nodes[top].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
//最晚发生时间要取所有活动中最早的
if((ltv[idx]-current.weight)<ltv[top]){
ltv[top] = ltv[idx]-current.weight;
}
}
}
int ete = 0;
int lte = 0;
for(int j=0;j<length;j++){
EdgeNode current = g.nodes[j].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
ete = etv[j];
lte = ltv[idx]-current.weight;
if(ete==lte){
//是关键路径
}
}
}

}

}
private Stack<Integer> topological_etv(){
Stack<Integer> stack2 = new Stack<Integer>();
Stack<Integer>stack1 = new Stack<Integer>();
for(int i=0;i<g.nodes.length;i++){
if(g.nodes[i].indegree==0){
stack1.add(i);
}
}
etv[] = new int[g.nodes.length];
int count = 0;
while(!stack1.isEmpty()){
int top = stack1.pop();
count++;
stack2.push(top);

EdgeNode current = g.nodes[top].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
if((--g.nodes[idx].indegree)==0){
stack1.push(idx);
}
if((etv[top]+current.weight)>etv[idx]){
etv[idx] = etv[top]+current.weight;
}
current = current.next;
}
}
if(count<g.nodes.length){
return null;
}
return stack2;
}