大数运算-减法（C/C++实现）

大数运算-减法

前言

上一篇中已经介绍了大数运算的加法（如果没有看过上一篇，请先看一下上一篇，再继续看关于减法的讲解），是通过模拟列竖式的方法实现的，大数运算的减法实际上也是通过模拟列竖式来进行计算的，只是把‘+’号变成了‘-’号，进位变成了借位，接下来，让我们开始吧。

问题分析

和加法一样，首先我们先给定一组数据，来辅助说明整个计算过程，在减法中，可能会出现一个小的数字减去一个大的数字形成负数的情况，我们先不考虑那样的情况，只考虑式 a - b 中 a >= b 的情况。

a = 192837465

b = 3456789

计算 a - b 的结果

数字 a 和数字 b 的值都不是很大，这里就开辟长度为10的数组进行说明，a数组（a[]）用来存储数字 a 的每一位，b数组用来存储数字 b 的每一位，c 数组用来存储计算的结果，在讲述加法运算的时候，我们已经讲解过正序存储的一些问题，并采用了逆序存储避免了问题的出现，对于减法来说，同样采取逆序存储的方式。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	5	6	4	7	3	8	2	9	1	0
b[]	9	8	7	6	5	4	3	0	0	0
c[]	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

可以看到，当逆序将数字存入之后，会呈现这样一个表，接下来我们来模仿列竖式的计算，对这个表进行操作，我们还需要记录每次计算是否需要从前面借位，所以我们再引入一个变量 bit，当bit = 1时，说明借位了，当bit = 0时，说明并未借位。

不要因为下面这些东西看起来很复杂而不去看，实际上逻辑是很简单的。

a[0] = 5， b[0] = 9， 此时 a[0] < b[0]，需要从前面借一位，因为需要借位，所以 bit 置为 1，此时a[0]经过借位之后变成 a[0] = 15，c[0] = a[0] - b[0] = 15 - 9 = 6;

因为bit = 1，所以a[1]的值并不是 6，经过借位之后变成了 5，即 a[1] = a[1] - bit，a[1] = 5，b[1] = 8，此时 a[1] < b[1]，需要从前面借一位，因为需要借位，所以bit置为 1，此时a[1]经过借位之后变成了a[1] = 15，c[1] = a[1] - b[1] = 15 - 8 = 7;

因为bit = 1 ，所以a[2]的值并不是 4，经过借位之后变成了 3，即a[2] = a[2] - bit， a[2] = 3，b[2] = 7， 此时a[2] < b[2]， 需要从前面借一位，因为需要借位，所以bit置为1，此时a[2]经过借位之后变成了a[2] = 13，c[2] = a[2] - b[2] = 13 - 7 = 6;

因为bit = 1 ，所以a[3]的值并不是 7，经过借位之后变成了6，即 a[3] = a[3] - bit， a[3] = 6，b[3] = 6，此时a[3] = b[3]，不需要从前面借一位，因为不需要借位，所以bit置为0，c[3] = a[3] - b[3] = 0;

因为bit = 0，所以a[4]的值还是3，即a[4] = a[4] - bit，a[4] = 3， b[4] = 5，此时 a[4] < b[4]，需要从前面借一位，因为需要借位，所以bit置为1，此时a[4]经过借位之后变成了a[4] = 13，c[4] = a[4] - b[4] = 13 - 5 = 9;

按照以上的步骤一直模拟到数组末尾，我们可以得到这样一个表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	5	6	4	7	3	8	2	9	1	0
b[]	9	8	7	6	5	4	3	0	0	0
c[]	6	7	6	0	8	3	9	8	1	0

结果即为189380676

虽然上面这些步骤乍一看好像乱糟糟的，但是仔细读一遍我们可以发现这其中是有规律的，而这个规律就是实现程序的关键。总结一下上面的过程：首先用上面的数减去bit（如果前一个数借了位，那么bit就为1，否则就为0）,减去bit之后和下面的数进行比较，如果上面的数大于下面的数，则不需要借位（bit = 0），直接将上面的数减去下面的数的结果保存到 c 数组，如果上面的小于下面的数，则需要借位（bit = 0）, 上面的数自加10，然后将自加10之后的数减去下面的数保存到 c 数组。

当然，c数组的作用和大数加法存在的理由是一样的，为了辅助说明，实际上可以不存在，如果不写c数组，那么初始的表就是这个样子的：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	5	6	4	7	3	8	2	9	1	0
b[]	9	8	7	6	5	4	3	0	0	0

经过一系列的计算，计算过程实际上就是把上面的c[] = a[] - b[]改成了b[] = a[] - b[]。我们最终把表变成了这个样子：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	5	6	4	7	3	8	2	9	1	0
b[]	6	7	6	0	8	3	9	8	1	0

代码实现

因为在大数加法中已经讲解了如何逆序存入数组和除去前置0输出结果，所以再这里就不再说明了。这里就只详细说明一下计算的过程：

//初始化为0，第一个数是肯定没有被借过位的
int bit = 0;
//循环数组的每一个元素
for(int i = 0; i < maxn; i++)
{
//减去bit，如果bit=0，相当于没有从这里借位，如果bit=1，相当于从这里借过一位
a[i] -= bit;
//比较两个数字的大小
if(a[i] < b[i])
{
//如果上面的数字较小，就借一位，也就是bit置1，自加10
a[i] += 10;
bit = 1;
}
else
//如果上面的数字大于等于下面的数字，说明不需要借位，bit置0
bit = 0;
//保存上面的数减去下面的数的结果
b[i] = a[i] - b[i];
}

完整的减法代码如下

void sub()
{
//逆序存入
for(int i = strlen(str1) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
a[j++] = str1[i] - '0';
for(int i = strlen(str2) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
b[j++] = str2[i] - '0';
//计算以及借位
int bit = 0;
for(int i = 0; i < maxn; i++)
{
a[i] -= bit;
if(a[i] < b[i])
{
a[i] += 10;
bit = 1;
}
else
bit = 0;
b[i] = a[i] - b[i];
}
//去除前置0的输出
int i;
for(i = maxn - 1; i >= 0 && b[i] == 0; i--);
if(i >= 0)
for( ; i >= 0; i--)
cout << b[i];
else
cout << 0;
cout << endl;
}

我们在前面遗留了一个问题，默认 a - b 中的 a 是大于等于 b 的，所以说这个程序是有缺陷的，但是实际上我们只需要做一些小的改动，就可以解决这个问题，使其既能计算 a >= b 的 a - b，又能计算 a < b 的 a - b。

在输入 a 和 b 的时候，我们使用的是字符串进行保存，在这里说明一下我们该如果通过字符串来比较数字的大小：

先比较两个字符串的长度，长度长的数字大；

如果长度一样，比较第一位字符的ASCII码大小，ASCII码大的字符串大，如果第一位字符相等，依次类推，向后比较（strcmp函数）。

我们对上面的sub（）函数添加两个形参，在传递参数的时候做一个比较，将较大的作为第一个参数，较小的作为第二个参数传入到sub函数中 ，这样计算出来的结果相当于是绝对值，如果输入的时候两个字符串分别为str1 , str2，而传参的时候是sub(str2, str1),那么只需要在结果前加一个负号，如果传参的时候是sub(str1, str2)，那么则不需要做任何操作，或者选择在前面加一个正号。

示例代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define maxn 1000
using namespace std;
int a[maxn], b[maxn];

bool myStrcmp(const char str1[], const char str2[])
{
if(strlen(str1) > strlen(str2))
return true;
if(strlen(str1) == strlen(str2))
return strcmp(str1, str2) > 0;
return false;
}

void sub(char str1[], char str2[])
{
//逆序存入
for(int i = strlen(str1) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
a[j++] = str1[i] - '0';
for(int i = strlen(str2) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
b[j++] = str2[i] - '0';
//计算
int bit = 0;
for(int i = 0; i < maxn; i++)
{
a[i] -= bit;
if(a[i] < b[i])
{
a[i] += 10;
bit = 1;
}
else
bit = 0;
b[i] = a[i] - b[i];
}
//输出
int i;
for(i = maxn - 1; i >= 0 && b[i] == 0; i--);
if(i >= 0)
for( ; i >= 0; i--)
cout << b[i];
else
cout << 0;
cout << endl;
}

int main()
{
char str1[maxn], str2[maxn];
//清空数组和字符数组
memset(str1, 0, sizeof(str1));
memset(str2, 0, sizeof(str2));
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(b, 0, sizeof(b));
cin >> str1 >> str2;
//判断字符串大小（即判断数字大小）
if(myStrcmp(str1, str2))
{
cout << "+";
sub(str1, str2);
}
else
{
cout << "-";
sub(str2, str1);
}
system("pause");
return 0;
}

这里也有很多无用的计算过程，优化方法同上一篇中所写。