剑指Offer_面试题09_斐波那契数列

题目一：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。

解析：一直以来很多C语言教科书在讲递归函数的时候总会拿斐波那契数列作为例子。但是这不意味这Fibonacci的最合适的解法就是用递归来实现。如果面试问道这题然后用递归解，那基本就GG了。因为递归调用过程中有很多重复计算，而且重复的数量随着n的增加而剧增，实际上斐波那契递归时间复杂度是以n的指数级的方式递增，计算F（100）估计等到花儿都谢了。



其实观察数列就不难发现，只要有前两项就能算出下一项，如f(0), f(1)计算出f(2), f(1), f(2)计算出f(3)以此类推，这样就能用循环计算出第n项的值。时间复杂度O(n).

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

//非递归求斐波那契第n项O(n)
long long Fib(unsigned n)
{
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
long long f0 = 0;
long long f1 = 1;
long long fn = 0;
for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
{
fn = f0 + f1;
f0 = f1;
f1 = fn;
}
return fn;
}

//递归斐波那契第n项,指数级
long long FibRes(unsigned n)
{
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return FibRes(n - 1) + FibRes(n - 2);
}

int main()
{
cout << Fib(1000) << endl;
cout << FibRes(100) << endl;   //等到花儿也谢了也等不出来
return 0;
}

题目二：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。
解析：这个问题乍一看很难，无从下手。这种时候首先考虑简单情况。设 f(n) 为n级台阶的跳法数，当 n=1 时，显然只有一种跳法 f(1) = 1; 当 n = 2 的时候，有两种跳法分别是跳两次1级，或者一次跳两级台阶，即 f(2) = 2;

再来考虑一般情况。n > 2 ,当青蛙刚开始跳的时候，它有两种跳法级跳一级或者跳两级，那么

f(n) = 第一步跳一级的跳法 + 第一步跳二级的跳法 = 剩下n-1阶台阶的跳法 + 剩下n-2阶台阶的跳法

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2),

那么现在情况已经很明朗了，这就是一个斐波那契数列的应用 ，写出斐波那契函数计算出第n项即可。

遇到复杂问题无从下手，先由简单情况考虑入手。