数据结构 平衡查找树 红黑树（Red-Black Tree）

数据结构 平衡查找树 红黑树（Red-Black Tree）

二叉查找树（BinarySearch Tree，也叫二叉搜索树，或称二叉排序树Binary Sort Tree）或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1、若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

2、若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

3、任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列

基本思想：

使用二叉查找树要先对待查找的数据进行生成树，确保树的左分支的值小于右分支的值，然后在就行和每个节点的父节点比较大小，查找最适合的范围。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）具有以下性质：

1、它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

2、最小二叉平衡树的节点的公式：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

这个类似于一个递归的数列（Fibonacci数列），1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量

平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树、SBT、2-3查找树等

平衡查找树之2-3查找树（2-3 Tree）

2-3查找树定义：

和二叉树不一样，2-3树运行每个节点保存1个或者两个的值。2节点(2-node)，他保存1个key和左右两个自己点。3节点(3-node)，保存两个Key。

1、它要么为空，要么具有如下特点：

2、对于2节点，该节点保存一个key及对应value，以及两个指向左右节点的节点，

左节点也是一个2-3节点，所有的值都比key要小，

右节点也是一个2-3节点，所有的值比key要大。

3、对于3节点，该节点保存两个key及对应value，以及三个指向左中右的节点。

左节点也是一个2-3节点，所有的值均比两个key中的最小的key还要小；

中间节点也是一个2-3节点，中间节点的key值在两个跟节点key值之间；

右节点也是一个2-3节点，节点的所有key值比两个key中的最大的key还要大

2-3查找树的性质：

1、如果中序遍历2-3查找树，就可以得到排好序的序列；

2、在一个完全平衡的2-3查找树中，根节点到每一个为空节点的距离都相同。（平衡树中“平衡”概念的定义，根节点到叶节点的最长距离对应于查找算法的最坏情况，

而平衡树中根节点到叶节点的距离都一样，最坏情况也具有对数复杂度。）

复杂度分析：

2-3树的查找效率与树的高度相关：

在最坏的情况下，所有的节点都是2-node节点，查找效率为lgN

在最好的情况下，所有的节点都是3-node节点，查找效率为log3N约等于0.631lgN

平衡查找树之红黑树（Red-Black Tree）

2-3查找树能保证在插入元素之后能保持树的平衡状态，最坏情况下即所有的子节点都是2-node，树的高度为lgn，从而保证了最坏情况下的时间复杂度。

红黑树（Red-Black Tree）— 一种简单实现2-3树的数据结构，Java中的java.util.TreeMap, java.util.TreeSet底层实现就是用的红黑树—即红黑树被用作符号表的实现

红黑树定义：

红黑树是一种具有红色和黑色链接的自平衡二叉查找树，同时满足：

1、红色节点向左倾斜

2、一个节点不可能有两个红色链接

3、整个树完全黑色平衡，即从根节点到所以叶子结点的路径上，黑色链接的个数都相同。

基本思想：

红黑树的思想就是对2-3查找树进行编码，尤其是对2-3查找树中的3-nodes节点添加额外的信息。红黑树中将节点之间的链接分为两种不同类型：

红色链接，用来链接两个2-nodes节点来表示一个3-nodes节点。使用红色链接的两个2-nodes来表示一个3-nodes节点，并且向左倾斜，即一个2-node是另一个2-node的左子节点

黑色链接，用来链接普通的2-3节点。

红黑树的好处是查找的时候不用做任何修改，和普通的二叉查找树相同。

红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，颜色是红(Red)或黑(Black)，红黑树的整个树完全黑色平衡。

红黑树的特性:

(1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。

(2) 根节点是黑色。

(3) 每个叶子节点是黑色。 [注意：这里叶子节点，是指为空的叶子节点！]

(4) 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。

(5) 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点

（即从根节点到所以叶子结点的路径上，黑色链接的个数都相同—从根节点到叶子节点的距离都相等）。

复杂度分析：

最坏的情况就是，红黑树中除了最左侧路径全部是由3-node节点组成，即红黑相间的路径长度是全黑路径长度的2倍。

红黑树的平均高度大约为logn。

旋转

旋转的目的是让树保持红黑树的特性。旋转又分为左旋和右旋：

左旋：对节点x进行左旋，意味着”将x变成一个左节点”

右旋：对节点x进行右旋，意味着”将x变成一个右节点”

通常左旋操作用于将一个向右倾斜的红色链接旋转为向左链接。对比操作前后，可以看出：该操作实际上是将红线链接的两个节点中的一个较大的节点移动到根节点上

public class RBTree<T extends Comparable<T>> {
private RBTNode<T> mRoot;    // 根结点
private static final boolean RED   = false;
private static final boolean BLACK = true;

public class RBTNode<T extends Comparable<T>> {
boolean color;        // 颜色
T key;                // 关键字(键值)
RBTNode<T> left;      // 左孩子
RBTNode<T> right;     // 右孩子
RBTNode<T> parent;    // 父结点

public RBTNode(T key, boolean color, RBTNode<T> parent, RBTNode<T> left, RBTNode<T> right) {
this.key = key;
this.color = color;
this.parent = parent;
this.left = left;
this.right = right;
}

public T getKey() {
return key;
}

public String toString() {
return ""+key+(this.color==RED?"(R)":"B");
}
}

public RBTree() {
mRoot=null;
}

private RBTNode<T> parentOf(RBTNode<T> node) {
return node!=null ? node.parent : null;
}
private boolean colorOf(RBTNode<T> node) {
return node!=null ? node.color : BLACK;
}
private boolean isRed(RBTNode<T> node) {
return ((node!=null)&&(node.color==RED)) ? true : false;
}
private boolean isBlack(RBTNode<T> node) {
return !isRed(node);
}
private void setBlack(RBTNode<T> node) {
if (node!=null)
node.color = BLACK;
}
private void setRed(RBTNode<T> node) {
if (node!=null)
node.color = RED;
}
private void setParent(RBTNode<T> node, RBTNode<T> parent) {
if (node!=null)
node.parent = parent;
}
private void setColor(RBTNode<T> node, boolean color) {
if (node!=null)
node.color = color;
}

//前序遍历"红黑树"
private void preOrder(RBTNode<T> tree) {
if(tree != null) {
System.out.print(tree.key+" ");
preOrder(tree.left);
preOrder(tree.right);
}
}

public void preOrder() {
preOrder(mRoot);
}

//中序遍历"红黑树"
private void inOrder(RBTNode<T> tree) {
if(tree != null) {
inOrder(tree.left);
System.out.print(tree.key+" ");
inOrder(tree.right);
}
}

public void inOrder() {
inOrder(mRoot);
}

// 后序遍历"红黑树"
private void postOrder(RBTNode<T> tree) {
if(tree != null)
{
postOrder(tree.left);
postOrder(tree.right);
System.out.print(tree.key+" ");
}
}

public void postOrder() {
postOrder(mRoot);
}

//(递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点
private RBTNode<T> search(RBTNode<T> x, T key) {
if (x==null)
return x;
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
return search(x.left, key);
else if (cmp > 0)
return search(x.right, key);
else
return x;
}

public RBTNode<T> search(T key) {
return search(mRoot, key);
}

//(非递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点
private RBTNode<T> iterativeSearch(RBTNode<T> x, T key) {
while (x!=null) {
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
x = x.left;
else if (cmp > 0)
x = x.right;
else
return x;
}
return x;
}

public RBTNode<T> iterativeSearch(T key) {
return iterativeSearch(mRoot, key);
}

//查找最小结点：返回tree为根结点的红黑树的最小结点。
private RBTNode<T> minimum(RBTNode<T> tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.left != null)
tree = tree.left;
return tree;
}

public T minimum() {
RBTNode<T> p = minimum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;

return null;
}

//查找最大结点：返回tree为根结点的红黑树的最大结点。
private RBTNode<T> maximum(RBTNode<T> tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.right != null)
tree = tree.right;
return tree;
}

public T maximum() {
RBTNode<T> p = maximum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;

return null;
}

//找结点(x)的后继结点。即，查找"红黑树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
public RBTNode<T> successor(RBTNode<T> x) {
// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
if (x.right != null)
return minimum(x.right);

// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
// (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
// (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
RBTNode<T> y = x.parent;
while ((y!=null) && (x==y.right)) {
x = y;
y = y.parent;
}

return y;
}

//找结点(x)的前驱结点。即，查找"红黑树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
public RBTNode<T> predecessor(RBTNode<T> x) {
// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
if (x.left != null)
return maximum(x.left);

// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
// (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
// (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
RBTNode<T> y = x.parent;
while ((y!=null) && (x==y.left)) {
x = y;
y = y.parent;
}

return y;
}

/*
* 对红黑树的节点(x)进行左旋转
*
* 左旋示意图(对节点x进行左旋)：
*      px                              px
*     /                               /
*    x                               y
*   /  \      --(左旋)-.             / \
*  lx   y                          x   ry
*      / \                        / \
*     ly  ry                     lx ly
*
*
*/
private void leftRotate(RBTNode<T> x) {
// 设置x的右孩子为y
RBTNode<T> y = x.right;

// 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”；
// 如果y的左孩子非空，将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”
x.right = y.left;
if (y.left != null)
y.left.parent = x;

// 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
y.parent = x.parent;

if (x.parent == null) {
this.mRoot = y;            // 如果 “x的父亲” 是空节点，则将y设为根节点
} else {
if (x.parent.left == x)
x.parent.left = y;    // 如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
else
x.parent.right = y;    // 如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
}

// 将 “x” 设为 “y的左孩子”
y.left = x;
// 将 “x的父节点” 设为 “y”
x.parent = y;
}

/*
* 对红黑树的节点(y)进行右旋转
*
* 右旋示意图(对节点y进行左旋)：
*            py                               py
*           /                                /
*          y                                x
*         /  \       --(右旋)-              / \
*        x   ry                           lx   y
*       / \                                   / \
*      lx  rx                                rx  ry
*
*/
private void rightRotate(RBTNode<T> y) {
// 设置x是当前节点的左孩子。
RBTNode<T> x = y.left;

// 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”；
// 如果"x的右孩子"不为空的话，将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”
y.left = x.right;
if (x.right != null)
x.right.parent = y;

// 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
x.parent = y.parent;

if (y.parent == null) {
this.mRoot = x;            // 如果 “y的父亲” 是空节点，则将x设为根节点
} else {
if (y == y.parent.right)
y.parent.right = x;    // 如果 y是它父节点的右孩子，则将x设为“y的父节点的右孩子”
else
y.parent.left = x;    // (y是它父节点的左孩子) 将x设为“x的父节点的左孩子”
}

// 将 “y” 设为 “x的右孩子”
x.right = y;

// 将 “y的父节点” 设为 “x”
y.parent = x;
}

/*
* 红黑树插入修正函数
* 在向红黑树中插入节点之后(失去平衡)，再调用该函数；
* 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
*/
private void insertFixUp(RBTNode<T> node) {
RBTNode<T> parent, gparent;

// 若“父节点存在，并且父节点的颜色是红色”
while (((parent = parentOf(node))!=null) && isRed(parent)) {
gparent = parentOf(parent);

//若“父节点”是“祖父节点的左孩子”
if (parent == gparent.left) {
// Case 1条件：叔叔节点是红色
RBTNode<T> uncle = gparent.right;
if ((uncle!=null) && isRed(uncle)) {
setBlack(uncle);
setBlack(parent);
setRed(gparent);
node = gparent;
continue;
}

// Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子
if (parent.right == node) {
RBTNode<T> tmp;
leftRotate(parent);
tmp = parent;
parent = node;
node = tmp;
}

// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子。
setBlack(parent);
setRed(gparent);
rightRotate(gparent);
} else {    //若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”
// Case 1条件：叔叔节点是红色
RBTNode<T> uncle = gparent.left;
if ((uncle!=null) && isRed(uncle)) {
setBlack(uncle);
setBlack(parent);
setRed(gparent);
node = gparent;
continue;
}

// Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子
if (parent.left == node) {
RBTNode<T> tmp;
rightRotate(parent);
tmp = parent;
parent = node;
node = tmp;
}

// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子。
setBlack(parent);
setRed(gparent);
leftRotate(gparent);
}
}

// 将根节点设为黑色
setBlack(this.mRoot);
}

//将结点插入到红黑树中
private void insert(RBTNode<T> node) {
int cmp;
RBTNode<T> y = null;
RBTNode<T> x = this.mRoot;

// 1. 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点添加到二叉查找树中。
while (x != null) {
y = x;
cmp = node.key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
x = x.left;
else
x = x.right;
}

node.parent = y;
if (y!=null) {
cmp = node.key.compareTo(y.key);
if (cmp < 0)
y.left = node;
else
y.right = node;
} else {
this.mRoot = node;
}

// 2. 设置节点的颜色为红色
node.color = RED;

// 3. 将它重新修正为一颗二叉查找树
insertFixUp(node);
}

//新建结点(key)，并将其插入到红黑树中
public void insert(T key) {
RBTNode<T> node=new RBTNode<T>(key,BLACK,null,null,null);
// 如果新建结点失败，则返回。
if (node != null)
insert(node);
}

/*
* 红黑树删除修正函数
*
* 在从红黑树中删除插入节点之后(红黑树失去平衡)，再调用该函数；
* 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
*
* 参数说明：
*     node 待修正的节点
*/
private void removeFixUp(RBTNode<T> node, RBTNode<T> parent) {
RBTNode<T> other;

while ((node==null || isBlack(node)) && (node != this.mRoot)) {
if (parent.left == node) {
other = parent.right;
if (isRed(other)) {
// Case 1: x的兄弟w是红色的
setBlack(other);
setRed(parent);
leftRotate(parent);
other = parent.right;
}

if ((other.left==null || isBlack(other.left)) &&
(other.right==null || isBlack(other.right))) {
// Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的俩个孩子也都是黑色的
setRed(other);
node = parent;
parent = parentOf(node);
} else {

if (other.right==null || isBlack(other.right)) {
// Case 3: x的兄弟w是黑色的，并且w的左孩子是红色，右孩子为黑色。
setBlack(other.left);
setRed(other);
rightRotate(other);
other = parent.right;
}
// Case 4: x的兄弟w是黑色的；并且w的右孩子是红色的，左孩子任意颜色。
setColor(other, colorOf(parent));
setBlack(parent);
setBlack(other.right);
leftRotate(parent);
node = this.mRoot;
break;
}
} else {

other = parent.left;
if (isRed(other)) {
// Case 1: x的兄弟w是红色的
setBlack(other);
setRed(parent);
rightRotate(parent);
other = parent.left;
}

if ((other.left==null || isBlack(other.left)) &&
(other.right==null || isBlack(other.right))) {
// Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的俩个孩子也都是黑色的
setRed(other);
node = parent;
parent = parentOf(node);
} else {

if (other.left==null || isBlack(other.left)) {
// Case 3: x的兄弟w是黑色的，并且w的左孩子是红色，右孩子为黑色。
setBlack(other.right);
setRed(other);
leftRotate(other);
other = parent.left;
}

// Case 4: x的兄弟w是黑色的；并且w的右孩子是红色的，左孩子任意颜色。
setColor(other, colorOf(parent));
setBlack(parent);
setBlack(other.left);
rightRotate(parent);
node = this.mRoot;
break;
}
}
}

if (node!=null)
setBlack(node);
}

// 删除结点(node)，并返回被删除的结点
private void remove(RBTNode<T> node) {
RBTNode<T> child, parent;
boolean color;

// 被删除节点的"左右孩子都不为空"的情况。
if ( (node.left!=null) && (node.right!=null) ) {
// 被删节点的后继节点。(称为"取代节点")
// 用它来取代"被删节点"的位置，然后再将"被删节点"去掉。
RBTNode<T> replace = node;

// 获取后继节点
replace = replace.right;
while (replace.left != null)
replace = replace.left;

// "node节点"不是根节点(只有根节点不存在父节点)
if (parentOf(node)!=null) {
if (parentOf(node).left == node)
parentOf(node).left = replace;
else
parentOf(node).right = replace;
} else {
// "node节点"是根节点，更新根节点。
this.mRoot = replace;
}

// child是"取代节点"的右孩子，也是需要"调整的节点"。
// "取代节点"肯定不存在左孩子！因为它是一个后继节点。
child = replace.right;
parent = parentOf(replace);
// 保存"取代节点"的颜色
color = colorOf(replace);

// "被删除节点"是"它的后继节点的父节点"
if (parent == node) {
parent = replace;
} else {
// child不为空
if (child!=null)
setParent(child, parent);
parent.left = child;

replace.right = node.right;
setParent(node.right, replace);
}

replace.parent = node.parent;
replace.color = node.color;
replace.left = node.left;
node.left.parent = replace;

if (color == BLACK)
removeFixUp(child, parent);

node = null;
return ;
}

if (node.left !=null) {
child = node.left;
} else {
child = node.right;
}

parent = node.parent;
// 保存"取代节点"的颜色
color = node.color;

if (child!=null)
child.parent = parent;

// "node节点"不是根节点
if (parent!=null) {
if (parent.left == node)
parent.left = child;
else
parent.right = child;
} else {
this.mRoot = child;
}

if (color == BLACK)
removeFixUp(child, parent);
node = null;
}

//删除结点，并返回被删除的结点
public void remove(T key) {
RBTNode<T> node;
if ((node = search(mRoot, key)) != null)
remove(node);
}

//销毁红黑树
private void destroy(RBTNode<T> tree) {
if (tree==null)
return ;
if (tree.left != null)
destroy(tree.left);
if (tree.right != null)
destroy(tree.right);
tree=null;
}

public void clear() {
destroy(mRoot);
mRoot = null;
}

// 打印"红黑树"
private void print(RBTNode<T> tree, T key, int direction) {
if(tree != null) {
if(direction==0)    // tree是根节点
System.out.printf("%2d(B) is root\n", tree.key);
else                // tree是分支节点
System.out.printf("%2d(%s) is %2d's %s child\n", tree.key, isRed(tree)?"R":"B", key, direction==1?"right" : "left ");

print(tree.left, tree.key, -1);
print(tree.right,tree.key,  1);
}
}

public void print() {
if (mRoot != null)
print(mRoot, mRoot.key, 0);
else
System.out.printf("\n"+ "空树");
}

public static void main(String[] args) {
int a[] = {10, 40, 30, 60};

int i, ilen = a.length;
RBTree<Integer> tree=new RBTree<Integer>();

System.out.printf("原始数据: ");
for(i=0; i<ilen; i++)
System.out.printf("%d ", a[i]);
System.out.println("\n");

for(i=0; i<ilen; i++) {
tree.insert(a[i]);
System.out.printf("添加节点: %d, 红黑树的信息:\n", a[i]);
tree.print();
System.out.printf("\n");
}

System.out.printf("红黑树的信息: \n");
tree.print();
System.out.printf("\n");

System.out.printf("红黑树的中序遍历: ");
tree.inOrder();
System.out.println();

System.out.printf("最小值: %s\n", tree.minimum());
System.out.printf("最大值: %s\n\n", tree.maximum());

for(i=0; i<ilen; i++){
tree.remove(a[i]);
System.out.printf("删除节点: %d, 红黑树的信息:\n", a[i]);
tree.print();
System.out.printf("\n");
}

// 销毁二叉树
tree.clear();
}
}

程序输出:

原始数据: 10 40 30 60

添加节点: 10, 红黑树的信息:

10(B) is root

添加节点: 40, 红黑树的信息:

10(B) is root

40(R) is 10’s right child

添加节点: 30, 红黑树的信息:

30(B) is root

10(R) is 30’s left child

40(R) is 30’s right child

添加节点: 60, 红黑树的信息:

30(B) is root

10(B) is 30’s left child

40(B) is 30’s right child

60(R) is 40’s right child

红黑树的信息:

30(B) is root

10(B) is 30’s left child

40(B) is 30’s right child

60(R) is 40’s right child

红黑树的中序遍历: 10 30 40 60

最小值: 10

最大值: 60

删除节点: 10, 红黑树的信息:

40(B) is root

30(B) is 40’s left child

60(B) is 40’s right child

删除节点: 40, 红黑树的信息:

60(B) is root

30(R) is 60’s left child

删除节点: 30, 红黑树的信息:

60(B) is root

删除节点: 60, 红黑树的信息: