数据库——设计关系模式要用的概念

函数依赖 闭包 自反 增广 传递 范式 关系模式的分解

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函数依赖

1.函数依赖（FD）是关系模式内最常见的数据依赖，属于语义范畴的概念

2. 函数依赖定义为：设R(U)是属性集U上的关系模式。X,Y是U的子集，若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则成X函数确定Y或者Y函数依赖与X， 记作：X→Y。

3. 平凡的函数依赖：如果X→Y，但Y∈X，则称X→Y是平凡的函数依赖

4. 非平凡的函数依赖：如果X→Y，但Y∉X，则称X→Y是非平凡的函数依赖。通常情况下总是讨论非平凡的函数依赖

5. 完全函数依赖：在R(U)中，如果X→Y，并且对于x的任何一个真子集X’，都有X´不能决定Y，则称Y对X完全函数依赖，记作：X-f->Y (f即 full)

6. 部分函数依赖：在R(U)中，如果X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作：X-p->Y (p即part) 部分函数依赖也称为局部函数依赖

7. 传递依赖：在R(U,F)中，如果X→Y，Y∉X，Y→Z，Y不完全函数依赖于X，则称Z对X传递依赖

8. 候选码：设K为R(U,F)中属性的组合，若K-f->U，且对于K的任何一个真子集K’，都有K’不能决定U，则K为R的候选码（候选关键字）。若有多个候选码，则选其中一个座位主码（主键），包含在任何一个候选码中的属性称之为主属性，反之称之为非主属性

函数依赖的逻辑蕴涵

定义：设有关系模式R(U)及其函数依赖集F，如果对于R的任一个满足F的关系r函数依赖X→Y都成立，则称F逻辑蕴涵X→Y，或称X→Y可以由F推出。

例：关系模式 R=(A,B,C),函数依赖集F={A→B,B→C}, F逻辑蕴涵A→C。

证：设u,v为r中任意两个元组：

若A→C不成立，则有u[A]=v[A],而u[C]≠v[C]

而且A→B, B→C,知

u[A]=v[A], u[B]=v[B], u[C]=v[C],

即若u[A]=v[A]则u[C]=v[C]，和假设矛盾。

故F逻辑蕴涵A→C。

满足F依赖集的所有元组都函数依赖X→Y（X→Y不属于F集），则称F逻辑蕴涵X→Y

（X→Y由F依赖集中所有依赖关系推断而出）

Armstrong公理

1、定理：若U为关系模式R的属性全集，F为U上的一组函数依赖，设X、Y、Z、W均为R的子集，对R(U,F)有：

F1(自反性)：若X≥Y(表X包含Y），则X→Y为F所蕴涵；(F1’:X→X)

F2(增广性): 若X→Y为F所蕴涵，则XZ→YZ为F所蕴涵；(F2’:XZ→Y)

F3(传递性): 若X→Y,Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵；

F4(伪增性)：若X→Y，W≥Z(表W包含Z）为F所蕴涵，则XW→YZ为F所蕴涵；

F5(伪传性): 若X→Y，YW→Z为F所蕴涵, 则XW→Z为F所蕴涵；

F6(合成性): 若X→Y,X→Z为F所蕴涵，则X→YZ为F所蕴涵；

F7(分解性): 若X→Y,Z≤Y (表Z包含于Y）为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。

函数依赖推理规则F1∽F7都是正确的。

2、Armstrong公理：

推理规则F1、F2、F3合称Armstrong公理；

F4 ∽ F7可由F1、F2、F3推得，是Armstrong公理的推论部分。

函数依赖的闭包

　

定义：若F为关系模式R(U)的函数依赖集，我们把F以及所有被F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为F的闭包，记为
4000
F+。

即：F+={X→Y|X→Y∈F∨“应用Armstong公理从F中导出的任何X→Y”}

△ F包含于F+，如果F=F+，则F为函数依赖的一个完备集。
△ 规定：若X为U的子集，X→Φ 属于F+。

例：R=ABC,F={A→B, B→C}, 求F+
解： F+ ={A→Φ,AB→Φ,AC→Φ,ABC→Φ,B→Φ,C→Φ,
A→A,AB→A,AC→A,ABC→A,B→B,C→C,
A→B,AB→B,AC→B,ABC→B,B→C,
A→C,AB→C,AC→C,ABC→C,B→BC,
A→AB,AB→AB,AC→AB,ABC→AB,BC→Φ,
A→AC,AB→AC,AC→AC,ABC→AC,BC→B,
A→BC,AB→BC,AC→BC,ABC→BC,BC→C,
A→ABC,AB→ABC,AC→ABC,ABC→A,BC→BC}

例：已知关系模式R中
U={A，B，C，D, E, G},
F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},判断BD→AC是否属于F+

解：由D→EG知D→E，BD→BE             … ①
又知BE→C，C→A 所以BE→A, BE→AC … ②
由①、②知，BD→AC，所以BD→AC被F所蕴涵，即BD→AC属于F+

例：已知关系模式R中
U={A，B，C，E, H, P, G},
F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B, GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},证明BG→HE属于F+
证：由B→CE知B→C，B→E, BG→GC         … ①
又知GC→A，A→P 所以BG→A, BG→ABCP … ②
又ABCP→H，由①、②知BG→HE，所以BG→HE被F所蕴涵，
即BG→HE属于F+

属性集闭包

　

1、定义：若F为关系模式R(U)的函数依赖集，X是U的子集，则由Armstrong公理推导出的所有X→Ai所形成的属性集

例：设R=ABC,F={A→B, B→C}当X分别为A,B,C是求X+。

解：当X=A时，X+=ABC

当X=B时，X+=BC

当X=C时，X+=C

* X代表的属性集可以决定的属性集（包括本身）

2、定理：当且仅当Y属于X+时，X→Y能根据Armstron公理由F导出。

证：设Y=A1,A2,…,An

①充分条件：当Y属于X+时,对于每个i,X→Ai可由公理导出。

再用合并规则可得X→Y。

②必要条件：若X→Y能够由公理导出,则根据分解规,

X→Ai(i=1,2,…,n)成立，所以Y属于X+。

3、计算X+

(1)算法依据：若F为关系模式R(U)的函数依赖集,X,Z,W是U的子集,对于任意的Z→W∈F,若 X≥Z（表X包含Z）,则X→XW。

(2)算法：

a.令X+ = X;

b.在F中依次查找每个没有被标记的函数依赖，若“左边属性集”包含于X+ ，则令 X+ = X+∪“右边属性集”,为被访问过的函数依赖设置访问标记。

c.反复执行b直到X+不改变为止。

（先令X+等于本身，然后在F+中依次查找左边包含于X+的属性，把其右边的对应属性并到X中）

(3)算法实现

输入：关系模式R的子集X,R上的函数依赖集F。

输出：X关于F的闭包X+

算法伪语言描述：

Closure(X,F)

{

olds=Φ; news=X; G=F;

while (olds!=news)

{

olds=news;

for (G中的每个函数依赖W→Z)

{

if (news包含W)

{

news=news∪Z;

从G中删除函数依赖W→Z;

}

}

}

return news;

}

例：已知关系模式R中

U={A，B，C，D, E, G},

F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},

求(BD)+，判断BD→AC是否属于F+

解：X+=BDEGCA

结论：(BD)+=ABCDEG,BD→AC可由F导出，即BD→AC属于F+

例：已知关系模式R中

U={A，B，C，E, H, P, G},

F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B,GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},

证明BG→HE属于F+

证：因为,(BG)+ =ABCEHPG,

所以BG→HE可由F导出，即BG→HE属于F+

4、结论

判定函数依赖X→Y是否能由F导出的问题，可转化为求X+并判定Y是否是X+子集的问题。

即求闭包问题可转化为求属性集问题。

判定给定函数依赖X→Y是否蕴涵于函数依赖集F算法实现：

输入：函数依赖集合F,函数依赖X→Y

输出：若X→Y∈F+输出真，否则输出假

算法伪语言描述：

number(F,X→Y)

{ if (Y包含于close(X,F))

return 真

else

return 假

}

{Ai|i=1,2,…}称为X对于F的闭包，记为X+。

关系模式的分解

关系模式的分解有几个不同的衡量标准：①分解具有无损连接；②分解要保持函数依赖；③分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接

无损连接性判定定理：关系模式R分解为两个关系模式R1和R2，满足无损连接性的充分条件是R1∩R2→（R1-R2）或R1∩R2→（R2-R1）

保持函数依赖的定义是：若满足（F1∪F2）+=F+，则分解保持函数依赖，其中Fi函数依赖集F在Ri上的投影

在泛关系模式R分解成数据库模式ρ={R1，R2…Rk}时，泛关系r在ρ的每一模式Ri(1≤i≤n)上投影后再连接起来，比原来r中多出来的元组，称为“寄生元组”或外元组。实际上，寄生元组表示错误的信息

先存在r(泛关系)的情况下，再去谈论分解，这是关系数据库理论中著名的泛关系假设

在无泛关系假设时，对两个关系进行自然连接中被丢失的元组称为悬挂元组

悬挂元组是造成两个关系不存在泛关系的原因

模式分解的优点：①能消除数据冗余和操作异常的现象；②在分解了的数据库中可以存储悬挂元组，存储泛关系中无法存储的信息

模式分解的缺点：①分解以后，检索操作需要做笛卡尔积或链接操作，这将付出时间代价；②在有泛关系假设时，对数据库中的关系进行自然连接时，可能产生寄生元组（即损失了信息）；在无泛关系假设时，由于数据库可能存在悬挂元组，因此有可能不存在泛关系

无损分解的测试方法。①输入：关系模式R=（A1，A2…An），F是R上成立的函数依赖集，ρ={R1,R2…Rn}是R的一个分解；②输出：判断ρ相对于F是否具有无损分解特性。无损分解的测试算法如下：

1.构造一张k行n列的表格，每列对应一个属性Aj（1≤j≤n），每行对应一个模式Rj（1≤i≤k）。如果Aj在Ri中，那么在表格的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。
2.把表格看成模式R的一个关系，反复检查F中每个FD在表格中是否成立，若不成立，则修改表格中的值，修改方法为：对于F中一个函数依赖X→Y，如果表格中有两行在X值上相等，在Y值上不相等，那么把这两行在Y值上也改成相等的值，如果Y值中一个是aj,那么另一个也改成aj;如果没有aj那么用其中一个bij替换另一个字（尽量把下表ij改成较小的数）。一直到表格不能修改为止，这个过程成为chase（追踪）过程
3.若修改后的最后一直表格中有一方全是a,即a1，a2...an，则称ρ相对于F是无损分解，否则称为损失分解

10.如果某个分解能保持FD集，那么在数据输入或更新时，只要每个关系模式本身的FD约束被满足，就可以确保整个数据库中数据的语义完整性不受破坏

11.关系模式在分解时应保持等价，有数据等价和依赖等价两种，分别用无损分解和保持依赖两个特征来衡量。

12.数据等价是指两个数据库实例赢表示同样的信息内容。如果是无损分解，那么对泛关系反复的投影和连接都不会丢失信息

13.依赖等价是指两个数据库模式应有相同的依赖集闭包，在依赖集闭包相等的情况下，数据的语义是不会出差错的

范式

a.范式是衡量关系模式优劣的标准，它表达了模式中数据依赖之间应满足的联系

b.第一范式（1NF）：若关系模式R的每一个分量是不可分的数据项，则R∈1NF

c.2NF:若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于码，则R属于2NF。换言之，当1NF消除了非主属性对码的部分函数依赖时，则称为2NF。典型有：捐赠信息（捐赠编号。捐赠校友，捐赠时间，受益人身份证号，受益人姓名），其中捐赠编号和受益人身份证号是主键，但是存在” 捐赠编号→捐赠校友，捐赠时间“和”受益人身份证号→受益人姓名“的部分依赖，所以这个不是2NF

d.3NF:若R∈2NF，且每一个非主属性既不部分依赖于码，也不传递依赖于码，则R∈3NF。换言之：当2NF消除了非主属性对码的部分函数传递时，称为3NF。典型有：校友信息（校友编号，姓名，工作单位，职位，院系，班级，入学年份，身份证号）班级为班级编号，包含院系编号，入学年份和专业方向编号。可以知道 校友编号应该是主键，同时身份证号也是该关系模式的决定性因素，因此他们都是候选键。由“班级→入学年份 ”和“校友编号→班级”,出现了“ 校友编号→入学年份”，虽然每一个非主属性不部分依赖与码，但是传递依赖与码了，因此这不是3NF

e.BCNF:关系模式R∈1NF，若X→Y且Y∉X时，X必含码，则R属于BCNF。换言之，当3NF消除了主属性对码的部分和传递函数依赖时，则称为BCNF。注意：BCNF是3NF消除主属性的部分和传递函数依赖，2NF 1NF晋级是消除非主属性的依赖

他们之间的相互关系是：1NF⊃2NF⊃3NF⊃BCNF

f.BCNF的关系模式都具有如下3个性质

1.所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码
2.所有主属性都完全函数依赖于每个不包含于他的候选码
3.没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性
4.多值依赖MVD：设R(U)施属性集U上的一个关系模式，X,Y是U的子集，若对R(U)的任一关系r，对于X的一个给定的值存在着Y的一组值与其对应，同时Y的这组值又不以任何方式与U-X-Y中的属性相关，那么称Y多值依赖于X，记为X→→Y

e.4NF：关系模式R∈1NF，若对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y且Y∉X时，X必含码，则R∈4NF

对于4NF关系进行投影，消除原关系中不是由候选码所蕴含的函数依赖，即可得到一组5NF关系，5NF是最终范

g.规范化理论提供了一套完整的模式分解算法，按照这套算法可以做到：

1.若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定能够达到4NF
2.若要求分解保持函数依赖，那么模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF
3.若要求分解即具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。

h.模式设计方法的原则：关系模式R相对于函数依赖集F分解成数据库模式ρ={R1，R2，..Rn}，一般应具有以下特性。

ρ中每个关系模式Ri是3NF或BCNF
保持无损连接
保持函数依赖集F
ρ中模式个数最少和属性总数最少

i.一个好的模式设计方法应符合3条原则：表达性、分离性和最小冗余性

j.表达性设计两个数据库模式的等价性问题，即数据等价和依赖等价，分别用无损连接和保持函数依赖性来衡量

k.分离性是指属性间的”独立联系“；应该用不同的关系模式表达

l.最小冗余性要求在分解后的数据库，能表达原来数据库的所有信息这个前提下实现

关系模式设计方法基本上可以分为分解与合成两大类。

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函数依赖与关系模式分解的一些技巧整理

函数闭包