神经网络中的反向传播法算法推导及matlab代码实现

　　反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。需要注意的是，神经网络中权值和阈值的更新是在所有的权值和阈值的更新量都计算出来之后，对所有的权值和阈值进行更新。而不是某个权值或阈值的更新量计算出来之后，马上就能用到其它权值和阈值的更新量的计算中。否则会导致训练效果变差，甚至使得神经网络不稳定。

　　说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：



 　　这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer
L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

　　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[MechineLearning
& Algorithm] 神经网络基础）
　　假设，你有这样一个网络层：



　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

　　现在对他们赋上初值，如下图：



　　其中，输入数据  i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
　　　　　初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
 w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
　　目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。
 Step 1前向传播
1.输入层---->隐含层：
　　计算神经元h1的输入加权和：



神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：



 　　同理，可计算出神经元h2的输出o2：



2.隐含层---->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：





这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 ,0.772928465]，与实际值[0.01
, 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2反向传播
1.计算总误差
总误差：(square error)



但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：





 



 

 

2.隐含层---->输出层的权值更新：
以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）



 

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：



 

现在我们来分别计算每个式子的值：
计算

：



  
计算

：



 
 

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）
计算

：



  
最后三者相乘：



 

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。
回过头来再看看上面的公式，我们发现：



 

为了表达方便，用来表示输出层的误差：



 

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：



 

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：



 

最后我们来更新w5的值：



 

（其中，(F27)是学习速率，这里我们取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:



 
3.隐含层---->隐含层的权值更新：
方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。



 

 

计算

：
 


 

先计算

：
 


 


 




 同理，计算出：



 
两者相加得到总值：



 
再计算

：
 


 
再计算

：
 


最后，三者相乘：



 为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：



最后，更新w1的权值：



同理，额可更新w2,w3,w4的权值：



这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。
 
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clear all
clc
close all
i1=0.05; i2=0.10;
o1=0.01; o2=0.99;
w1=0.15; w2=0.20;w3=0.25; w4=0.30; b1=0.35;
w5=0.40; w6=0.45;w7=0.50; w8=0.55; b2=0.6;
 
% alpha=38.9
% epoch=6000;
alpha=0.5
epoch=10000;
for k=1:epoch
%forward:hidden layers
net_h1=w1*i1+w2*i2+b1*1;
out_h1=1/(1+exp(-net_h1));
net_h2=w3*i1+w4*i2+b1*1;
out_h2=1/(1+exp(-net_h2));
 
%forward:outputlayer
net_o1=w5*out_h1+w6*out_h2+b2*1;
net_o2=w7*out_h1+w8*out_h2+b2*1;
out_o1=1/(1+exp(-net_o1));
out_o2=1/(1+exp(-net_o2));
 
% cost function
E_total(k)=((out_o1-o1)^2+(out_o2-o2)^2)/2;
 
% backward:output layer
dE_dw5=-(o1-out_o1)*out_o1*(1-out_o1)*out_h1;
dE_dw6=-(o1-out_o1)*out_o1*(1-out_o1)*out_h2;
dE_dw7=-(o2-out_o2)*out_o2*(1-out_o2)*out_h1;
dE_dw8=-(o2-out_o2)*out_o2*(1-out_o2)*out_h2;
 
% backward:hidden layer
dE_douto1=-(o1-out_o1);
douto1_dneto1=out_o1*(1-out_o1);
%dEo1_douth1=-(o1-out_o1)*out_o1*(1-out_o1)
dEo1_dneto1=dE_douto1*douto1_dneto1;
dEo1_douth1=dEo1_dneto1*w5;
dEo1_douth2=dEo1_dneto1*w6;
 
dE_douto2=-(o2-out_o2);
douto2_dneto2=out_o2*(1-out_o2);
%dEo1_douth1=-(o1-out_o1)*out_o1*(1-out_o1)
dEo2_dneto2=dE_douto2*douto2_dneto2;
dEo2_douth1=dEo2_dneto2*w7;
dEo2_douth2=dEo2_dneto2*w8;
 
dE_dw1=(dEo1_douth1+dEo2_douth1)*out_h1*(1-out_h1)*i1;
dE_dw2=(dEo1_douth1+dEo2_douth1)*out_h1*(1-out_h1)*i2;
dE_dw3=(dEo1_douth2+dEo2_douth2)*out_h2*(1-out_h2)*i1;
dE_dw4=(dEo1_douth2+dEo2_douth2)*out_h2*(1-out_h2)*i2;
 
w1=w1-alpha*dE_dw1;
w2=w2-alpha*dE_dw2;
w3=w3-alpha*dE_dw3;
w4=w4-alpha*dE_dw4;
w5=w5-alpha*dE_dw5;
w6=w6-alpha*dE_dw6;
w7=w7-alpha*dE_dw7;
w8=w8-alpha*dE_dw8;
end
v_E_total_k=E_total(k)
plot(E_total)