算法设计Week13 LeetCode Algorithms Problem #64 Minimum Path Sum

题目描述：

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

题目分析：

本题其实也是前面#62题的变形，不过这回每一个格子都有了权重。延续#62中的想法，我们可以很容易得到状态方程：

pathSum[j] = grid[i - 1][j - 1] + min(pathSum[j - 1], pathSum[j])

在计算的过程中，需要注意两个特殊情况：一个是

i == 1

的时候，也就是在计算网格第一行的数值时，由于

pathSum[j]

均为0，而

pathSum[j - 1]

为已经计算出的权重。我们想要的是

pathSum[j - 1]

。因此这时的状态方程为

pathSum[j] = grid[i - 1][j - 1] + pathSum[j - 1]

而在

j == 1

的时候，由于由于

pathSum[j - 1]

均为0，而

pathSum[j]

为已经计算出的权重。我们想要的是

pathSum[j]

。因此这时的状态方程为

pathSum[j] = grid[i - 1][j - 1] + pathSum[j]

。

整个算法的时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(n)。

实现代码：

class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int column = row ? grid[0].size() : 0;
vector<int> pathSum(column+1);
for(int i = 1; i <= row; i++){
for(int j = 1; j <= column; j++){
if(i == 1){
pathSum[j] = grid[i - 1][j - 1] + pathSum[j - 1];
}else if(j == 1){
pathSum[j] = grid[i - 1][j - 1] + pathSum[j];
}else{
pathSum[j] = grid[i - 1][j - 1] + min(pathSum[j - 1], pathSum[j]);
}
}
}
return pathSum[column];
}
};