Spatial Transformer Networks(空间变换神经网络)

闲扯：大数据不如小数据

这是一份很新的Paper(2015.6)，来自于Google旗下的新锐AI公司DeepMind的四位剑桥Phd研究员。

他们针对CNN的特点，构建了一个新的局部网络层，称为空间变换层，如其名，它能将输入图像做任意空间变换。

在我的论文[深度神经网络在面部情感分析系统中的应用与改良]中，提出了一个有趣观点：

大数据不如小数据，如果大数据不能被模型有效利用。

该现象是比较常见的，如ML实战的一个经典问题：数据不均衡，这样模型就会对大类数据过拟合，忽略小类数据。

另外，就是[Evolving Culture vs Local Minima：文化、进化与局部最小值]提到的课程学习观点：

将大数据按照难易度剖分，分批学习，要比直接全部硬塞有效得多。

当前，我们炙手可热的模型仍然是蒟蒻的，而数据却是巧夺天工、超乎想象的。

因而，想要通过模型完全摸清数据的Distribution是不现实的，发明、改良模型结构仍然是第一要务，

而不单纯像Li Feifei教授剑走偏锋，用ImageNet这样的大数据推进深度学习进程。

空间变换的重要意义

在我的论文[深度神经网络在面部情感分析系统中的应用与改良]中，分析了CNN的三个强大原因：

[局部性]、[平移不变性]、[缩小不变性]，还对缺失的[旋转不变性]做了相应的实验。

这些不变性的本质就是图像处理的经典手段，[裁剪]、[平移]、[缩放]、[旋转]。

这些手段又属于一个家族：空间变换，又服从于同一方法：坐标矩阵的仿射变换。

那么，神经网络是否有办法，用一种统一的结构，自适应实现这些变换呢？DeepMind用一种简易的方式实现了。

图像处理技巧：仿射矩阵、逆向坐标映射、双线性插值

1.1 仿射变换矩阵

实现[裁剪]、[平移]、[缩放]、[旋转]，只需要一个[2,3][2,3]的变换矩阵：

[θ11θ21θ12θ22θ13θ23][θ11θ12θ13θ21θ22θ23]

—————————————————————————————————————————————————————————

对于平移操作，坐标仿射矩阵为：

[1001θ13θ23]⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=[x+θ13y+θ23][10θ1301θ23][xy1]=[x+θ13y+θ23]

—————————————————————————————————————————————————————————

对于缩放操作，坐标仿射矩阵为：

[θ1100θ2200]⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=[θ11xθ22y][θ11000θ220][xy1]=[θ11xθ22y]

—————————————————————————————————————————————————————————

对于旋转操作，设绕原点顺时针旋转αα度，坐标仿射矩阵为：

[cos(α)−sin(α)sin(α)cos(α)00]⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=[cos(α)x+sin(α)y−sin(α)x+cos(α)y][cos(α)sin(α)0−sin(α)cos(α)0][xy1]=[cos(α)x+sin(α)y−sin(α)x+cos(α)y]

这里有个trick，由于图像的坐标不是中心坐标系，所以只要做下Normalization，把坐标调整到[-1,1]。

这样，就绕图像中心旋转了，下文中会使用这个trick。

—————————————————————————————————————————————————————————

至于裁剪操作，没有看懂Paper的关于左2x2 sub-matrix的行列式值的解释，但可以从坐标范围解释：

只要x′x′、y′y′的范围比xx，yy小，那么就可以认为是目标图定位到了源图的局部。

这种这种仿射变换没有具体的数学形式，但肯定是可以在神经网络搜索过程中使用的。

1.2 逆向坐标映射

注：感谢网友@载重车提出疑问，修正了这部分的内容。具体请移步评论区。

★本部分作为一个对论文的错误理解，保留。

在线性代数计算中，一个经典的求解思路是：

[θ11θ21θ12θ22θ13θ23]⎡⎣⎢xSourceySource1⎤⎦⎥=[xTargetyTarget][θ11θ12θ13θ21θ22θ23][xSourceySource1]=[xTargetyTarget]

这种做法在做图像处理时，会给并行矩阵程序设计造成尴尬——需要牺牲额外的空间存储映射源，：

由于(xTarget,yTarget)(xTarget,yTarget)必然是离散的，当我们需要得到Pixel(xTarget,yTarget)Pixel(xTarget,yTarget)的值时，

如果不及时保存(xSource,ySource)(xSource,ySource)，那么就必须即时单点复制Pixel(xSource,ySource)−>Pixel(xTarget,yTarget)Pixel(xSource,ySource)−>Pixel(xTarget,yTarget)

显然，这种方法的实现依赖于ForFor循环：

For(0....i....Height)For(0....j....Width)Calculate&CopyFor(0....i....Height)For(0....j....Width)Calculate&Copy

为了能让矩阵并行计算成为可能，我们需要逆转一下思路：

[θ11θ21θ12θ22θ13θ23]′⎡⎣⎢xTargetyTarget1⎤⎦⎥=[xSourceySource][θ11θ12θ13θ21θ22θ23]′[xTargetyTarget1]=[xSourceySource]

之后，构建变换目标图就转化成了，数组下标取元素问题：

PixelMatrixTarget=PixelMatrixSource[xSource,ySource]PixelMatrixTarget=PixelMatrixSource[xSource,ySource]

这依赖于仿射矩阵的一个性质：

[θ11θ21θ12θ22θ13θ23]′=[θ11θ21θ12θ22θ13θ23]−1[θ11θ12θ13θ21θ22θ23]′=[θ11θ12θ13θ21θ22θ23]−1

即，由Target变换为Source时，新仿射矩阵为源仿射矩阵的逆矩阵。

1.3 双线性插值

考虑一个[1,10][1,10]图像放大10倍问题，我们需要将10个像素，扩展到为100的数轴上，整个图像应该有100个像素。

但其中90个对应Source图的坐标是非整数的，是不存在的，如果我们用黑色(RGB(0,0,0)RGB(0,0,0))填充，此时图像是惨不忍睹的。

所以需要对缺漏的像素进行插值，利用图像数据的局部性近似原理，取邻近像素做平均生成。

双线性插值是一个兼有质量与速度的方法(某些电子游戏里通常这么排列：线性插值、双线性插值....):



如果(xSource,ySource)(xSource,ySource)是实数坐标，那么先取整(截尾)，然后沿轴扩展dd个坐标单位，得到P21P21、P12P12、P22P22

一般的(源码中)，取d=1d=1，式中分母全被消去，再利用图中双线性插值式进行插值，得到Pixel(xSource,ySource)Pixel(xSource,ySource)的近似值。

神经网络

2.1 块状神经元

CNN是一个变革的先驱者模型，它率先提出局部连接观点，减少网络广度，增加网络深度。

局部连接让神经元呈块状，单参数成参数组；让网络2D化，切合2D图像；让权值共享，大幅度减少参数量。

仿射矩阵自适应学习理论，因此而得以实现：

2.2 基本结构与前向传播

论文中的结构图描述得不是很清楚，个人做了部分调整，如下：



DeepMind为了描述这个空间变换层，首先添加了坐标网格计算的概念，即：

对应输入源特征图像素的坐标网格——Sampling Grid，保存着(xSource,ySource)(xSource,ySource)

对应输出源特征图像素的坐标网格——Regluar Grid  ，保存着(xTarget,yTarget)(xTarget,yTarget)

然后，将仿射矩阵神经元组命名为定位网络 (Localisation Network)。

对于一次神经元提供参数，坐标变换计算，记为 τθ(G)τθ(G)，根据1.2，有:

τθ(Gi)=[θ11θ21θ12θ22θ13θ23]′⋅⎡⎣⎢⎢xTargetiyTargeti1⎤⎦⎥⎥=[xSourceiySourcei]wherei=1,2,3,4..,H∗Wτθ(Gi)=[θ11θ12θ13θ21θ22θ23]′⋅[xiTargetyiTarget1]=[xiSourceyiSource]wherei=1,2,3,4..,H∗W

该部分对应于图中的①②，但是与论文中的图有些变化，可能是作者并没有将逆向计算的Trick搬到结构图中来。

所以你看到的仍然是Sampling Grid提供坐标给定位网络，而具体实现的时候恰好是相反的，坐标由Regluar Grid提供。

————————————————————————————————————————————————————————

Regluar Grid提供的坐标组是顺序逐行扫描坐标的序列，序列长度为 [Heght∗Width][Heght∗Width]，即：

将2D坐标组全部1D化，根据在序列中的位置即可立即算出，在Regluar Grid中位置。

这么做的最大好处在于，无须额外存储Regluar Grid坐标(xTarget,yTarget)(xTarget,yTarget)。

因为从输入特征图UU数组中，按下标取出的新像素值序列，仍然是逐行扫描顺序，简单分隔一下，便得到了输出特征图VV。

该部分对应于图中的③。

————————————————————————————————————————————————————————

(1.3)中提到了，直接简单按照(xSource,ySource)(xSource,ySource)，从源像素数组中复制像素值是不可行的。

因为仿射变换后的(xSource,ySource)(xSource,ySource)可以为实数，但是像素位置坐标必须是整数。

为了解决像素值缺失问题，必须进行插值。插值核函数很多，源码中选择了论文中提供的第二种插值方式——双线性插值。

(1.3)的插值式非常不优雅，DeepMind在论文利用max与abs函数，改写成一个简洁、优雅的插值等式：

Vci=∑Hn∑WmUcnmmax(0,1−|xSi−m|)max(0,1−|ySi−n|)wherei∈[1,H′W′],c∈[1,3]Vic=∑nH∑mWUnmcmax(0,1−|xiS−m|)max(0,1−|yiS−n|)wherei∈[1,H′W′],c∈[1,3]

两个 ∑∑ 实际上只筛出了四个邻近插值点，虽然写法简洁，但白循环很多，所以源码中选择了直接算4个点，而不是用循环筛。

该部分对应图中的④。

2.3 梯度流动与反向传播

添加空间变换层之后，梯度流动变得有趣了，如图：



形成了三股分支流：

(I)后の流：

ErrorGradient→.....→∂Next∂VciErrorGradient→.....→∂Next∂Vic

这是Back Propagation从后层继承的动力源泉，没有它，你就不可能完成Back Propagation。

(II)里の流：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂Vci∂xSi→∂xSi∂θ∂Vci∂ySi→∂ySi∂θ{∂Vic∂xiS→∂xiS∂θ∂Vic∂yiS→∂yiS∂θ

个人对这股流的最好描述就是：一江春水流进了小黑屋。

是的，你没有看错，这股流根本就没有流到网络开头，而是在定位网络处就断流了。

由此来看，定位网络就好像是在主网络旁侧偷建的小黑屋，是一个违章建筑。

所以也无怪乎作者说，定位网络直接变成了一个回归模型，因为更新完参数，流就断了，独立于主网络。

(III)前の流：

∂Vci∂Uinm→∂Uinm∂Previous∂Vic∂Unmi→∂Unmi∂Previous

这是Back Propagation传宗接代的根本保障，没有它，Back Propagation就断子绝孙了。

2.4* 局部梯度

论文中多次出现[局部梯度](Sub-Gradient) 的概念。

作者们反复强调，他们写的，优雅简洁的采样核函数，是不连续的，不能如下直接求导：

g=∂Vci∂θg=∂Vic∂θ

而应该是分两步，先对xSixiS 、xSixiS 求局部梯度: ∂Vci∂xci∂Vic∂xic 、∂Vci∂yci∂Vic∂yic，后有：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪g=∂Vci∂xSi⋅∂xSi∂θg=∂Vci∂ySi⋅∂ySi∂θ{g=∂Vic∂xiS⋅∂xiS∂θg=∂Vic∂yiS⋅∂yiS∂θ

有趣的是，对于Theano这种自动求导的Tools，局部梯度可以直接被忽视。

因为Theano的Tensor机制，会聪明地讨论并且解离非连续函数，追踪每一个可导子式，即便你用了作者们的优雅的采样函数，

Tensor.grad函数也能精确只对筛出的4个点求导，所以在Theano里讨论非连续函数和局部梯度，是会被贻笑大方的。

转自：http://www.cnblogs.com/neopenx/p/4851806.html