最长滑道问题（非递归，C++）

这是爱奇艺的一道算法题。

题目描述请参考博客http://blog.csdn.net/sinat_30186009/article/details/52356053，在此表示感谢。

基本思路参考了以上文章，但是上面文章中的算法是java版，这是次要的，主要的问题是算法用的是原始递归思想，这样会造成计算量及其大，时间复杂度为O(n^2)。

本文旨在用C++语言解决上述问题，并且在递归的基础上进行改进，使得时间复杂度降为O(n)。其中n为高度矩阵的元素个数即row*col。

代码说明：

　输入：

　　高度矩阵行数： row

　　高度矩阵列数： col

　　高度矩阵 ： dots

　输出：

　　最长滑道值：LargestSlideValue

　　滑道长度矩阵：dotsLength，该矩阵最大值到最小值的路径即为最长滑道路径

　　函数findLargestSlide()调用次数：Call_Of_findLargestSlide()

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>

using namespace std;

//减少寻找过程（前面几种算法都会重复计算，本算法记录每个点的最大路径，下次寻找到该点时直接加即可！降低时间复杂度关键思想）
int countfindLargestSlide=0;//用于计录函数findLargestSlide调用次数
//寻找最长滑道路径（前后两点不等高）
int findLargestSlide(int x,int y,const vector<vector<int> >& dots,vector<vector<int> >& dotsLength)
{
countfindLargestSlide++;

int left=y-1;
int right=y+1;
int up=x-1;
int down=x+1;

int left_value=0;
int right_value=0;
int up_value=0;
int down_value=0;

if(left>=0&&dots[x][left]<dots[x][y]){
if(0==dotsLength[x][left])//如果为0，表示该点没有被计算过，因此需要调用findLargestSlide来寻找基于该点的最长滑道
dotsLength[x][left]=left_value=findLargestSlide(x,left,dots,dotsLength);
else　　//如果不为0，表示该点已经被计算过，不用重新计算，下同（降低时间复杂度关键代码）
left_value=dotsLength[x][left];
}

if(right<=(int)dots[0].size()-1&&dots[x][right]<dots[x][y]){
if(0==dotsLength[x][right])
dotsLength[x][right]=right_value=findLargestSlide(x,right,dots,dotsLength);
else
right_value=dotsLength[x][right];
}

if(up>=0&&dots[up][y]<dots[x][y]){
if(0==dotsLength[up][y])
dotsLength[up][y]=up_value=findLargestSlide(up,y,dots,dotsLength);
else
up_value= dotsLength[up][y];
}

if(down<=(int)dots.size()-1&&dots[down][y]<dots[x][y]){
if(0==dotsLength[down][y])
dotsLength[down][y]=down_value=findLargestSlide(down,y,dots,dotsLength);
else
down_value= dotsLength[down][y];
}

int max1=left_value>=right_value?left_value:right_value;
int max2=up_value>=down_value?up_value:down_value;
int max=max1>=max2?max1:max2;

dotsLength[x][y]=max+1;//加上寻找点自身的路径长度1

return dotsLength[x][y];
}

int main()
{
//行和列
int row,col=0;
cout<<"please input row and col: ";
cin>>row>>col;
cout << "row= "<<row<<" "<<"col= "<<col << endl;
cout<<"please input dotsMatrix:"<<endl;
//矩阵（每点代表一个高度）
vector<vector<int> > dots(row,vector<int>(col,0));
//输入矩阵
for(vector<int>& valrow:dots)
for(int & valcol:valrow)
cin>>valcol;

//矩阵，记录每个点对应的滑道长度
vector<vector<int> > dotsLength(row,vector<int>(col,0));
cout<<"--------------------"<<endl;
//输出矩阵以验证矩阵确实输入正确
cout<<"dots:"<<endl;
for(int i=0;i<row;i++)
{
for(int j=0;j<col;j++)
cout<<setw(4)<<dots[i][j];
cout<<endl;
}

int max_value=0;
for(int i=0;i<row;i++)
{
for(int j=0;j<col;j++)
{
int current_value=findLargestSlide(i,j,dots,dotsLength);
if(current_value>max_value)
{
max_value=current_value;
}
}
}

cout<<"--------------------"<<endl;
cout<<"LargestSlideValue= "<<max_value<<endl;
cout<<"--------------------"<<endl;
//输出dotsLength,从该矩阵中可以方便直观地看出滑动路线(可能有多条，从最大值到最小值)
cout<<"dotsLength:"<<endl;
for(int i=0;i<row;i++)
{
for(int j=0;j<col;j++)
cout<<setw(4)<<dotsLength[i][j];
cout<<endl;
}
cout<<"--------------------"<<endl;
//输出调用findLargestSlide函数的次数，本程序时间复杂度为线性复杂度：O(n)
cout<<"Call_Of_findLargestSlide(): "<<countfindLargestSlide<<endl;

return 0;
}

简单对比一下改进前后的效果：

测试样例：



改进前：



改进后：



可以看出，最长滑道长度为17，改进前，函数findLargestSlide()调用841次，改进后为54次，因此我们用递归算法时一定要考虑是否可以优化。

滑道长度矩阵dotsLength中的每个值代表从该点开始滑下，可获得的滑道最长值。长度为17的最长滑道标注如下图：



意即从高度为23的顶端（dotsLength中17对应的点）沿着图中蓝线一直滑到高度为1的底部（dotsLength中1对应的点）。当然还有其他长度的滑道，可以从图中方便地找出来。

最后，关于时间复杂度的具体数值，时间复杂度在改进前后分别为O(n^2)和O(n),但需要注意的是，即使同样维度的矩阵，数值不同的时候函数findLargestSlide()的调用次数可能不同，但时间复杂度量级是相同的。

时间复杂度简要分析：

　　改进前：粗略计算应为30*30，但是不可能每个点都会讲所有点递归计算一遍，因此最终的结果841要小于30*30=900。

　　改进后：时间复杂度应该为30呀？为啥这里比30大呢？因为在main()函数内，每个元素均要计算基于它的最长滑道，均要调用一次findLargestSlide()函数，总共30个点，因此调用30次。但是要注意的是，主函数计算基于每个值的最长滑道时，并不知道这个值之前有没有被计算过，它只有按照main()函数的流程再次调用findLargestSlide()函数，进入之后才知道是否被计算过，因此要加上前面计算其他点时递归计算过该点的次数（每个点最多一次，可能0次），因此所以就比30大了，但绝对不会超过30*2-1=59（这种情况发生在计算每个点的最长滑道时都发现之前被递归计算过，除了第一个点）。因此精确的时间复杂度为：最好时为n次，最坏时为2n-1次。

举例：

测试数据（一种最坏情况）：





另一种最坏情况：



以第一种最坏情况为例（都是一样的），第一次计算30对应的最长滑道时，已经递归计算了其他点的最长滑道（总共计算了30次），然而main()函数并不知道这一点呀，因此继续计算29对应的最长滑道，进去发现，哎呀！已经计算过了那太好了（但是记得从main()函数调用findLargestSlide()也要计数，加1次），同样，28,27,26，...，3,2,1，直到计算完毕，总共调用findLargestSlide()函数的次数为30+29*1=59次。



测试数据（一种最好情况）：





在上面的最好情况下，每次只计算一个点对应的最长滑道，不会出现递归计算，总共调用findLargestSlide()函数的次数为30次（均为main()函数调用）。



就到这里啦，有不足的地方敬请指正，欢迎交流。