MIT18.06课程笔记15:Projection Matrix投射矩阵
2017-05-08 20:49
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课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。课程笔记
1. 求取投射矩阵P
这部分主要探讨如何通过一个矩阵将任意向量投射到指定超平面。超平面通常通过basic(基)给出,即设给出的不相关基为{a1,a2,...,am},令A=[a1,a2,...,am],超平面就是C(A),即A的column space(∀x,Ax∈C(A))。
投射有两个等价定义:设b是任意向量,b̂ 是投射后的向量,则有b̂ 在指定超平面内(b̂ ∈C(A)),并且1. b̂ 是超平面内与b距离最近的向量(欧式距离)(∀b′∈C(A),(b′−b)T(b′−b)≤(b̂ −b)T(b̂ −b)),或者 2. b−b̂ 与超平面垂直(AT(b̂ −b)=0)。
求投射矩阵P使得Pb=b̂ 。
通过上诉条件,可以得出以下公式:
1. b̂ =Ax for some unknown x
2. AT(b̂ −b)=0
可得
x=(ATA)−1ATb
进而
b̂ =Ax=A(ATA)−1ATb
Pb=b̂
最终得到
P=A(ATA)−1AT
2. 讨论投射矩阵的性质
PT=Prange(P)=range(A) (因为对于任意x,Px都位于C(A)内,即C(P)=C(A))
P∗P=P (超平面上的点投射到超平面上其位置不变)
Pb∈C(A) ∀b
∀b (b−Pb)∈N(AT) (N(A)指的是A的null space,即∀x∈N(A) Ax=0)
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