算法：集合的划分原理及代码实现

在大学的离散数学中，会有关于划分原理的介绍。

基本概念

划分的概念就是把一个集合A分成若干个子集a1、a2…的过程，但是必须满足下列条件：

1.a1∪a2∪….∪an = A

2.对于所有i、j 属于0到n， ai∩aj = 空集。

3.a1…an 不为空集

例如

集合A = {1}的划分只有一种情况：{1}

集合A = {1，2}的划分有以下两种情况，分别是{1}{2}，{1、2}

集合A = {1, 2, 3}的划分有五种情况：①{1}{2}{3}；②{1}{2、3}；③{2}{1、3}；④{3}{1、2}；⑤{1、2、3}

以此类推……

计算

那么就会出现一个问题，一个含有n个元素的集合的划分有多少种呢？

B1、B2 …. Bn分别表示从1到n个元素的集合的划分的个数，而有上述可知B1= 1，B2 = 2，B3 = 5，且令B0=1。

对一般的n有递推公式：

Bn+1=C(n,0)B0+C(n,1)B1+.+C(n,n)Bn,

C(n,k)是n元素取k个元素的组合数

公式可以这么理解：

n个元素的有Bn个分法，那么n+1个时，多加的这个设为t，

1.把t单独拿出来，剩下的有Bn种分法。即C(n,n)Bn。

2.t和其他元素当成一个整体，这其他元素可以是一个两个三个….

当是一个的时候：则有C(n,n-1)种抽取这一个元素的抽法，而剩下的只有n-1个了，所以是C(n,n-1)Bn-1

当是一个的时候：则有C(n,n-1)种抽取这一个元素的可能，而剩下的只有n-1个了，所以是C(n,n-1)Bn-1

以此类推….

当是n个的时候：则有C(n,0)种抽取这一个元素的可能，而剩下的只有0个了，所以是C(n,n-1)B0

全部累加则为Bn+1=C(n,0)B0+C(n,1)B1+.+C(n,n)Bn

代码实现待续….