分类系列之感知器学习算法PLA 和 口袋算法Pocket Algorithm

来自 丁磊_ml博客 网址为 blog.csdn.net/MosBest

我们有一堆数据，默认他们是线性可分的。

定义f为这个数据分割线的最优解，但是我们不知道他的值。

我们仅有一个函数集H，这个函数一般是无穷大的。我们的目的就是从H中找出一条线g来尽可能的接近f。但是，我刚刚说了，H内的函数一般是无穷多的，我们不可能把H中的函数一 一 比较，得到最好的分割线g吧！！！

不过伟大的科学家就说，我们的目的不就是找出一条线把这些数据都分开吗！！那我随机的初始化一条分割线 g0,让他一
一和数据点进行比较（数据总该是有限个的吧）, 如果 某一个数据点划分对了，那这条线就不动，继续比较下一个点。如果错了，那就调整 这条线，让他能把这个点分对。以此下去，直到我们发现所有的点都分隔对了为止。。。

那么问题就来了，我们怎么调整这条分隔线呢？？？

首先要明确，只有当分类出错误的时候，才对分割线进行调整。

假设我们遇到的数据点(xn,yn)是我们第t次分类错误。那么就有


当yn=+1 时，则我们的错误结果为wTxn=wt−→∗xn−→=||w||∗||xn||∗cosΘ<0，即cosΘ<0 则Θ太大,为了能过纠正错误，决定减小Θ，就让w→t+1=w→t+x→

即


紫色的就是更改后的wt+1

同理

当yn=−1时，则我们的错误结果为wTxn=wt−→∗xn−→=||w||∗||xn||∗cosΘ>0，即cosΘ>0 则Θ太小,为了能过纠正错误，决定增大Θ，就让w→t+1=w→t−x→

即


紫色的就是更改后的wt+1

综上所述，当分割线遇到点(xn,yn)时，如果分割正确，那么wt就不变，如果分割错误，那么就令


注意w是分割线wTx=0的法线，也就是说分割线的方向是与w的方向垂直的。。。

这个想法是挺好的，那么问题是，用这种方法到底行不行得通呢？？？现在，我们就来验证这个算法的正确性！！！

这种方法到底行不行得通，其实就是说这个算法到底能不能找到正确区分所有点的线。即这个算法到底能不能收敛？（收敛就是能停下来，算法只有找到了满足要求的线才停下来，所以说法不同，但意思是一样的）

证明：

首先有两个前提：

前提1：数据本就是可以线性可分的。（如果数据不是线性可分的话，那不管我们怎么找都找不到那条线）

前提2：我们仅仅是遇到分错的点时，才改变wt，遇到分对的点wt不变。

根据前提1，说明最终的线一定存在。

假设wf是我们要的线，则有


当线wTtx=0遇到(xn,yn)发生错误时，则更新wt+1,即


遂有



则



根据前提2，有



又有


则



判断w_t，wf是否相近，只需他们的Θ尽可能为0

我们初始化w0=0，则可以怎么得，在T次误差矫正后，有



所以，最终得到



即cosΘ>=T−−√.Cconstant,即随着T逐渐增大，cosΘ也会逐渐增大，那么Θ会逐渐减小到0，所以wt是越来越接近wf 又cosΘ<=1，所以 wt一定收敛。

这个算法最大的缺点就是假设数据点是线性可分的。问题是，我们并不知道数据到底是不是线性可分的！！如果不是，也就是说最终根本没有上面的wf，即没有一条不犯错误的线，那么以上的推论都是“白搭”！！！

那怎么办？？？有个想法是，我们能不能把找出一条犯错误最少的线呢？？？？即


其实，从实际意义上，是不能的。这是一个著名的NP hard 问题！！！因为线有无穷多个啊！！！

伟大的科学家又提出一条算法，来解决这个问题——-口袋算法

口袋算法基于贪心的思想。他总是让遇到的最好的线拿在自己的手上。。。

就是我首先手里有一条分割线wt，发现他在数据点(xn,yn)上面犯了错误，那我们就纠正这个分割线得到wt+1,我们然后让wt与wt+1遍历所有的数据，看哪条线犯的错误少。如果wt+1犯的错误少，那么就让wt+1替代wt，否则wt不变。

那怎样让算法停下来呢？？——–我们就 自己规定迭代的次数

由于口袋算法得到的线越来越好（PLA就不一定了，PLA是最终结果最好，其他情况就说不准了），所以我们就 自己规定迭代的次数 。



最后一个问题，如果数据本就是线性可分，那么我们用 pocket algorithm 和用 PLA，那个更好？？？

答案是PLA更好。先不说PLA可以找到最好的那条线。单从效率上来说，PLA也更好些。最主要的原因是，pocket algorithm 每次比较的时候，都要遍历所有的数据点，且两个算法都要遍历一遍，才会决定那个算法好，而这还是比较一次，如果我们让他迭代500次的，那就麻烦了！！！但是，所有前提是，数据是线性可分的。如果线性不可分，只能用pocket algorithm，因为PLA根本不会停下来（而且PLA的wt也不是每更改一次效果就会比之前的好）！！