抽牌概率

本节探讨两例：有趣的抽牌概率计算，其中单色的数字牌设计比较简单，而由多花色扑克组成的数字牌涉及编码的转换，其中设计较为复杂，也更具有吸引力；

涉及到概率计算，必须统计事件的总体数与满足指定条件事件的个数，这是概率计算的基础；

抽数字牌

有n张数字牌，数字牌上分别标有整数1，2，3，……，n；

在这n张数字牌中同时抽取3张，记3张牌上的整数之和为素数的概率为p（n）；

输入n（n>=10），计算并输出概率p（n）（精确到小数点后3位）；

1.说明：

因任3张牌整数之和不小于6，可以排除唯一偶素数“2”；

（1）、试商法判别素数；

判别一个大于1的奇数i是否为素数，最简单的是根据素数的定义应用试商法完成，即用奇数（3~sqrt(i)）进行试商判别；

为方便素数检测，设置数组q[i]，对3n以内的整数i通过试商法给q[i]赋值：若i为素数，q[i]=1；否则q[i]=0；

（2）、枚举循环设计；

注意到任取3张牌即所得3个数不能相同。因而设置的i，j，k三重枚举循环的取值范围分别为：i（1~n-2），j（i+1~n-1），k（j+1~n）；

这样的枚举循环设置，确保每不同的三张一组抽取，既无遗漏，也没有重复，这一点很重要，如果枚举循环设置不精准，出现遗漏或重复，会直接导致统计结果错误；

设s为从n张中取3张的总数，显然有：

s=(3)C(n)=（n(n-1)(n-2)）/6；

在内循环中通过w++统计所有不同的抽牌次数，并对取得的3个数应用q[i+j+k]=1判定3个数之和是否为素数，若是素数则通过m++统计和为素数的抽取次数；

（3）、计算概率；

循环结束后，比较w与s，若w！=s，说明循环设置出错，退出程序；

只有当w=s时，才计算并输出概率值p=m/w；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int i,j,k,n,t,z,q[3000];
long m,s,w;
double p;
printf("请输入牌的张数n(n<1000):");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=3*n;i++)
q[i]=0;
for(i=3;i<=3*n;i=i+2)
{
t=1;
z=(int)sqrt(i);
for(j=3;j<=z;j=j+2)
if(i%j==0)
{
t=0;
break;
}
if(t==1)          /*奇数i为素数时标记q[i]=1*/
q[i]=1;
}
m=w=0;
for(i=1;i<=n-2;i++)  /*三重循环枚举抽牌*/
for(j=i+1;j<=n-1;j++)
for(k=j+1;k<=n;k++)
{
w++;
if(q[i+j+k]==1)
m++;     /*统计和为素数的数目*/
}
s=n*(n-1)*(n-2)/6;
if(s!=w)
{
printf("统计出现问题！");
return;
}
p=(double)m/w;
printf("在%d张牌取3张不同取法%ld次,和为素数的%ld次\n",n,w,m);
printf("和为素数的概率为%.03f\n",p);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入牌的张数n(n<1000):100
在100张牌取3张不同取法161700次,和为素数的30791次
和为素数的概率为0.190

注意：通过三重循环枚举实现3张抽牌是可行的，也是可靠的，由s与w是否相等的检测可知枚举既无重复，也不存在遗漏；

抽扑克牌

玩扑克牌是最普及也是最流行的娱乐活动，扑克牌除大小王之外有红心、方片、草花、黑桃4种花色，每一种花色有A，2，……，10，J，Q，K（约定A为数码1，J，Q，K分别为数码11、12、13）共13个数码；

试在扑克牌每一花色的数码靠前的n（2<=n<=13）张牌（即每种花色的数码均为1，2，……，n）组成的4n张牌中抽取3张，3张牌上的数码之和为素数的概率记为p（n）；

输入n，计算并输出p（n）（精确到小数点后3位）；

1.说明：

在扑克牌的4种花色牌中抽取要比前面单一数字牌抽取复杂，涉及到牌上的原数码与抽取编码之间的转换；

（1）、抽取编号；

为实现在4n张牌中每不同的3张都能抽到，把4n张牌进行抽取编号：

任取一种花色其n张牌按顺序抽取编号为1~n（此时抽取编号与牌上数码相同）；

第2种花色的n张牌按顺序抽取编号为n+1~2n（即数码为1的编号为n+1，数码为2的编号为n+2，……，类推）；

第3种花色的n张牌按顺序抽取编号为2n+1~3n；

最后第4种花色的n张牌按顺序抽取编号为3n+1~4n；

（2）、设置素数检测数组；

为方便素数检测，设置数组q[i]，对4n以内的整数i通过试商法给q[i]赋值：若i为素数，q[i]=1；否则q[i]=0；

（3）、枚举循环设计；

为实现在4n张牌中任取3张牌，设置i，j，k三重枚举循环，其取值范围分别为：i（1~4n-2），j（i+1~4n-1），k（j+1~4n）；

这样的枚举循环设置，确保每不同的三张一组抽取，既无遗漏，也没有重复；

（4）、抽取次数的总数；

设s为从4n张中抽取3张的总数，显然有：

s = (3)C(4n) = （4n(4n-1)(4n-2)）/6

在i，j，k三重枚举循环内通过w++统计所有不同的抽取次数，循环结束后，比较w与s，若w！=s，说明循环设置出错，退出程序；

（5）、恢复牌上的原数码；

以上循环中的i，j，k是抽取编号，把这些抽取编号转换为扑克牌的原数码（设置为i1、j1、k1）是必要的，也是设计的关键所在；

若i>n：i1=i%n，此时若i1=0，则i1=n；

例如，若n=13时，抽取编号i=39，根据抽取编号的设置可知该牌的原数码应是21%13，该牌的原数码为8；

若n=13时，抽取编号i=39，根据抽取编号的设置可知该牌的原数码应是13，而由求余运算39%13=0，因此把0转换为13是必要的；

抽取编号j，k的转换与上面类似；

（6）、判别与计算；

应用q[i1+j1+k1]=1判定抽取的3张牌的数字之和为素数，并通过m++统计所要求的“和为素数”的抽取次数；

最后计算并输出概率值p=m/w；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int i,j,k,i1,j1,k1,n,t,z,q[3000];
long m,s,w;
double p;
printf("请输入每色牌的张数n(2<=n<=13):");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=3*n;i++)
q[i]=0;
for(i=3;i<=3*n;i=i+2)
{
t=1;
z=(int)sqrt(i);
for(j=3;j<=z;j=j+2)
if(i%j==0)
{
t=0;
break;
}
if(t==1)
q[i]=1;         /*i为素数时标记q[i]=1*/
}
m=w=0;

4000
for(i=1;i<=4*n-2;i++) /*三重循环枚举抽3张牌*/
for(j=j+1;j<=4*n-1;j++)
for(k=j+1;k<=4*n;k++)
{
w++;
i1=i%n;
j1=j%n;
k1=k%n;
if(i1==0)
i1=n;     /*恢复扑克上的原数码*/
if(j1==0)
j1=n;
if(1==0)
k1=n;
if(q[i1+j1+k1]==1)
m++;      /*统计和为素数的数目*/
}
s=4*n*(4*n-1)*(4*n-2)/6;   /*s为从4n张中取3张的总数*/
if(s!=w)
{
printf("统计出现问题!");
return;
}
p=(double)m/w;
printf("在扑克每色%d张牌中抽取3张有不同取法%ld次,\n",n,w);
printf("其中和为素数的取法%ld次;和为素数的概率为%.3f\n",m,p);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入每色牌的张数n(2<=n<=13):13
统计出现问题!在扑克每色13张牌中抽取3张有不同取法22100次,
其中和为素数的取法6068次;和为素数的概率为0.275

注意：以上程序设计的重点也是难点是把抽取编号i、j、k转换为牌的原数码i1、j1、k1，这也是该设计的灵巧之处；

拓广抽扑克牌

上面扑克牌各色牌的张数相同，拓广到4色数字牌的张数任意指定；

有4种数字牌，其张数分别为a张，编号为1~a；b张，编号为1~b；c张，编号为1~c；d张，编号为1~d；

试在这4种数字牌共s=a+b+c+d张牌中抽取3张，试求3张牌上的数码之和为素数的概率p；

输入整数a，b，c，d（1~a，b，c，d<=100），计算并输出概率p（精确到小数点后3位）；

1.说明：

（1）、抽取编号；

为实现在s=a+b+c+d张牌中每不同的3张都能抽到，把s张牌进行抽取编号：

取第1种花色其a张牌按顺序抽取编号为1~a（此时抽取编号与牌上数码相同）；

第2种花色的b张牌按顺序抽取编号为a+1~a+b（即数码为1的编号为a+1，数码为2的编号为a+2，……，类推）；

第3种花色的c张牌按顺序抽取编号为a+b+1~a+b+c；

最后第4种花色的d张牌按顺序抽取编号为a+b+c+1~a+b+c+d；

（2）、设置素数检测数组；

为方便素数检测，设置数组q[i]，对s以内的整数i通过试商法给q[i]赋值：

若i为素数，q[i]=1；否则q[i]=0；

（3）、枚举循环设计；

为实现在s张牌中任取3张牌，设置i，j，k三重枚举循环，其取值范围分别为：i（1~s-2），j（i+1~s-1），k（j+1~s）；

这样的枚举循环设置，确保每不同的三张一组抽取，即无遗漏，也没有重复；

（4）、抽取次数的总数；

从s张中抽取3张的总数，显然有：

(3)C(s) = （s(s-1)(s-2)）/6

在i，j，k三重美剧循环内通过w++统计所有不同的抽取次数，循环结束后，比较w与上式计算的总数是否相等，若不等，说明循环设置出错，退出程序；

（5）、恢复牌上的原数码；

以上循环中的i、j、k是抽取编号，把这些抽取编号转换为各色牌的原数码（设置为i1、j1、k1）是必要的，也是设计的关键所在；

设置把抽取编号x（即i、j、k）转换为原数码y（即i1、j1、k1）的转换函数tr（）：

若x<=a，则y=x；

若a< x且x<=a+b，则y=x-a；

若a+b< x且x<=a+b+c，则y=x-a-b；

若a+b+c< x且x<=a+b+c+d，则y=x-a-b-c；

（6）、判别与计算；

应用q[i1+j1+k1]=1判定抽取的3张牌的数字之和为素数，并通过m++统计所要求的“和为素数”的抽取次数；

最后计算并输出概率值p=m/w；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int a,b,c,d,x,y;
int main()
{
int i,j,k,i1,j1,k1,s,t,z,q[400];
long m,w;
double p;
int tr();
printf("请输入每色牌的张数a,b,c,d(1<a,b,c,d<=100):");
scanf("%d,%d,%d,%d",&a,&b,&c,&d);
s=a+b+c+d;
for(i=1;i<=s;i++)
q[i]=0;
for(i=3;i<=s;i=i+2)
{
t=1;
z=(int)sqrt(i);
for(j=3;j<=z;j=j+2)
if(i%j==0)
{
t=0;
break;
}
if(t==1)
q[i]=1;         /*i为素数时标记q[i]=1*/
}
m=w=0;
for(i=1;i<=s-2;i++)   /*三重循环枚举抽3张牌*/
for(j=i+1;j<=s-1;j++)
for(k=j+1;k<=s;k++)
{
w++;         /*w为从s张中取3张的总数*/
x=i;
tr();
i1=y;
x=j;
tr();        /*恢复牌上的原数码*/
j1=y;
x=k;
tr();
k1=y;
if(q[i1+j1+k1]==1)
m++;      /*统计和为素数的数目*/
}
if(w!=s*(s-1)*(s-2)/6)
{
printf("统计出现问题！");
return;
}
p=(double)m/w;
printf("在4色共%d张牌中抽取3张有不同取法%ld次,\n",s,w);
printf("其中和为素数的取法%ld次;和为素数的概率为%.3f\n",m,p);
}
int tr()                 /*抽取编号x转换为原数码y的转换函数*/
{
if(x<=a)
y=x;
else if(a<x && x<=a+b)
y=x-a;
else if(a+b<x && x<=a+b+c)
y=x-a-b;
else
y=x-a-b-c;
return y;
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入每色牌的张数a,b,c,d(1<a,b,c,d<=100):10,20,40,50
在4色共120张牌中抽取3张有不同取法280840次,
其中和为素数的取法64599次;和为素数的概率为0.230

若输入a=b=c=d=13，结果即为“抽扑克牌”的运行结果；

进一步把4色拓广为一般m色，有兴趣的读者请自行探讨；