JZOJ 4919. 【NOIP2017提高组模拟12.10】神炎皇

Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。

对于一个整数对 (a,b)，若满足 a+b<=n 且 a+b 是 ab 的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Input

一行一个整数n。

Output

一行一个整数表示答案，保证不超过64位整数范围。

Sample Input

21

Sample Output

11

Data Constraint

对于20%的数据 n<=103；

对于40%的数据 n<=105；

对于60%的数据 n<=106；

对于80%的数据 n<=1012；

对于100%的数据 n<=1014。

Solution

观察a+b<=n 且 a+b|ab

使d=Gcd(a,b)必然 d>1 才能使 a+b|ab

则a=a′d，b=b′d

可知Gcd(a′,b′)=1

推出Gcd(a′+b′,b′)=1

所以a+b|ab=>(a′+b′)d|a′b′d2=>a′+b′|a′b′d

因为a′+b′∤a′b′

所以a′+b′|d

又设d=c(a′+b′)

则a+b=d(a′+b′)=(a′+b′)2⋅p≤n 且 p>0

所以a′+b′≤n√

设k=a′+b′，之后枚举 k。

由于p可能的取值为⌊nk2⌋

由Gcd(a′+b′,b′)=1得Gcd(k,b′)=1

那么b’的取值就是φ(k)

所以答案就是∑k=1n√k∗⌊nk2⌋∗φ(k)

因为 φ(k) 可以用线性筛法求出!

最终时间复杂度就是O(n√)

Code

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=10000001;
int m;
LL n,ans;
int f
,phi
;
bool bz
;
int main()
{
scanf("%lld",&n);
m=sqrt(n);
for(int i=2;i<=m;i++)
{
if(!bz[i]) phi[f[++f[0]]=i]=i-1;
for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<=m;j++)
{
bz[i*f[j]]=true;
if(i%f[j]==0)
{
phi[i*f[j]]=phi[i]*f[j];
break;
}else phi[i*f[j]]=phi[i]*(f[j]-1);
}
}//线性筛法
for(int i=2;i<=m;i++) ans+=n/(1LL*i*i)*1LL*phi[i];
printf("%lld",ans);
return 0;
}