通过矩阵求两个向量集中元素两两之间的欧氏距离(python实现)
2016-12-06 09:49
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在很多算法中都会涉及到求向量欧式距离,例如机器学习中的KNN算法,就需要对由训练集A和测试集B中的向量组成的所有有序对(Ai,Bi),求出Ai和Bi的欧式距离。这样的话就会带来一个二重的嵌套循环,在向量集很大时效率不高。
这里介绍如何将这一过程用矩阵运算实现。
假设有两个三维向量集,用矩阵表示:
A=[a11a12a21a22a31a32]
B=⎡⎣⎢⎢⎢b11b12b13b21b22b23b31b32b33⎤⎦⎥⎥⎥
要求A,B两个集合中的元素两两间欧氏距离。
先求出ABT:
ABT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13ak1bk1∑k=13ak2bk1∑k=13ak1bk2∑k=13ak2bk2∑k=13ak1bk3∑k=13ak2bk3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
然后对A和BT分别求其中每个向量的模平方,并扩展为2*3矩阵:
Asq=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
Bsq=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(bk1)2∑k=13(bk1)2∑k=13(bk2)2∑k=13(bk2)2∑k=13(bk3)2∑k=13(bk3)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
然后:
Asq+Bsq−2ABT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(ak1−bk1)2∑k=13(ak2−bk1)2∑k=13(ak1−bk2)2∑k=13(ak2−bk2)2∑k=13(ak1−bk3)2∑k=13(ak2−bk3)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
将上面这个矩阵一开平方,就得到了A,B向量集两两间的欧式距离了。
下面是python实现:
这里介绍如何将这一过程用矩阵运算实现。
假设有两个三维向量集,用矩阵表示:
A=[a11a12a21a22a31a32]
B=⎡⎣⎢⎢⎢b11b12b13b21b22b23b31b32b33⎤⎦⎥⎥⎥
要求A,B两个集合中的元素两两间欧氏距离。
先求出ABT:
ABT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13ak1bk1∑k=13ak2bk1∑k=13ak1bk2∑k=13ak2bk2∑k=13ak1bk3∑k=13ak2bk3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
然后对A和BT分别求其中每个向量的模平方,并扩展为2*3矩阵:
Asq=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
Bsq=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(bk1)2∑k=13(bk1)2∑k=13(bk2)2∑k=13(bk2)2∑k=13(bk3)2∑k=13(bk3)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
然后:
Asq+Bsq−2ABT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(ak1−bk1)2∑k=13(ak2−bk1)2∑k=13(ak1−bk2)2∑k=13(ak2−bk2)2∑k=13(ak1−bk3)2∑k=13(ak2−bk3)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
将上面这个矩阵一开平方,就得到了A,B向量集两两间的欧式距离了。
下面是python实现:
import numpy def EuclideanDistances(A, B): BT = B.transpose() vecProd = A * BT SqA = A.getA()**2 sumSqA = numpy.matrix(numpy.sum(SqA, axis=1)) sumSqAEx = numpy.tile(sumSqA.transpose(), (1, vecProd.shape[1])) SqB = B.getA()**2 sumSqB = numpy.sum(SqB, axis=1) sumSqBEx = numpy.tile(sumSqB, (vecProd.shape[0], 1)) SqED = sumSqBEx + sumSqAEx - 2*vecProd ED = (SqED.getA())**0.5 return numpy.matrix(ED)
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