编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言(4)--二进制减法器

在上一篇博文中我们用基本的逻辑门实现了8位二进制数的加法器，本文主题是在上文中加法器的基础上实现8位二进制减法器功能。

加法和减法在某些方面互相补充，但在机制方面这两种运算并不同。加法中会涉及到进位，减法中没有进位，而是借位--一种与加法存在本质区别的麻烦机制。下面我们先从十进制的减法开始，逐渐过渡到二进制的减法。

先看一个例子：253-176=？？

当我们解决一个问题时，如果能用到我们已经知道的知识，那么问题解决起来就会快捷；然而如果要研究出一种新的方法，这固然很好，但是这往往并不是一种最有效的途径。这里用一个小技巧来让减法不涉及到借位（先说明过程然后解释原因），由于减法与计算机中以二进制编码的存储有关，详细地了解减法也很重要。

为了避免借位，我们从一串9中减去减数（在上例中是999，因为减数是176，三位），即999-176=823。我们称从一串9中减去一个数叫做对9求补数，上例中176对9的补数是823，反之823对9的补数是176。这样就不需要借位。

然后将补数加1，并与原来的被减数相加，即823+1+253=1077。最后将结果减去1000,1077-1000=77。

为什么这样行得通呢？整个过程表示如下：（999-176）+1+253-1000=253-176。看上去把问题复杂化了，因为我们用两个加法和两个减法来实现一个减法，但是我们避免了借位，实际上更简单了（现在我们并没有直接实现减法，但是已经有加法器）。有人可能会问，如果被减数小于减数怎么办？此时我们可以将减数与被减数交换位置，然后对最终结果取反。但对于加法器来说没发表示复数，这里姑且将复数表示为溢出。

那么对于二进制数呢？

还是上面的例子，253-176=？？

我们将253和176分别表示为二进制，则有1111 1101-1011 0000 =？？？？？？？？

仿照十进制的做法，我们先求减数对1的补数（十进制是减数对9的补数），即用1111 1111-1011 0000。这里注意一下，求对1的补数并不需要这么复杂，只需要将减数取反即可，即1011 0000->0100 1111为减数对1的补数。将补数加1然后与被减数相加，即0100 1111+1+1111 1101 = 1 0100 1101，然后减去1 0000 0000，得到0100 1101换算成十进制数就是77。

当减数大于被减数时，姑且以溢出论。

上文中我们实现的加法器如下图所示

为了实现减法器，我们在增加几个输入：sub位，0表示做加法，1表示做减法；求补器。

这是求补器需要说明一下，最简单的做法就是利用反向器实现，如下图所示。

但是该电路只会对输入求反，而我们既要实现加法器又要实现减法器。对于异或门我们知道，当两个输入中一个输入为0时不改变另一个输入的值；当一个输入为1时，另一个值反向。于是，我们该为如下电路。

当求反位为0时，不改变输入（此时实现加法器）；当取反位为1时，输入反向（实现减法）。

对于本例，上图可如下表示

我们将上文中实现的加法器做如下改变

图中三个sub位就是加减法转换开关。下面说明一下工作原理。

当做加法时，也就是sub位为0时，对于求补器不改变输入的值，对于最高位的进位sub位也并不改变CO的值，一切看起来跟加法器并无两样，此时实现加法。

当做减法时，sub位为1。首先减数B（7-0）由于异或门sub位为1，故取反。CI=sub=1，从而实现了取反加1的目的。利用加法器的功能将其与被减数A（7-0）相加，最后减去1 0000 0000。当CO位为1时，sub位为1，对CO取反，CO变为0；当CO位为0时，此时减数大于被减数，sub为1使得CO也变为1，表示溢出。

这样就在加法器的基础上增加了减法器的功能。