正交矩阵（Orthogonal Matrix）

1. 定义

    正交矩阵: Orthogonal Matrix (必为方阵)

     

 
  

2. 特征

    1） 所有的列向量都是单位正交向量

    2） 所有的行向量都是单位正交向量

    3）detA = +1 或detA =-1

    4）若detA =1，则A为n维旋转矩阵 (

)，旋转矩阵X旋转矩阵=旋转矩阵

    5）向量X的范数(Norm) 或欧拉长度（Euclidean Length ）：

         



    6）正交矩阵对向量进行正交变换，且正交变换不改变向量的长度(范数)：

         设X的正交变换为AX，则AX的范数为：

，由此可见AX的范数与X的范数相等

3. 应用    

3.1 矩阵RQ分解

    1）定义：A = RQ   即A可以分解为R(上三角阵）与Q(旋转矩阵)

           下面以A是3x3矩阵为例进行算法分析：

           (1) 

分为为绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵，且其旋转角度分别为：



                    

 
    

          (2) 分解步骤思想：在A右乘绕坐标轴的旋转矩阵，使得AQ为上三角矩阵，即对角线以下的元素为0

                Step1: AQx：使A32 = 0

                Step2: AQxQy：使A31 = 0，且A31保持不变

                Step3: AQxQyQz：使用A21 = 0， 且A31、A32保持不变，则AQxQyQz为上三角矩阵。