数据结构复习笔记(Data Structures & Algorithms in Java, 4th) - recursive 递归

重覆执行除了可以使用回圈（loop）来达到以外，另一个方法就是递归（recursive），面对递归问题时，一般的思路是：

首先思考一下子问题是什么，有多少子问题需要解决以得到 f(n)。也就是说，在一个 recursive binary tree 问题中，所有任一部份都依赖於二组子问题；而在链表的递归问题中，只需要解决一组子问题。总而言之，若要求得 f(n) 的解，则我们先计算 f(0) 或 f(1)，通常也是一般固定的值。我们下面直接用一些简单的例子来解说递归：

1. 阶乘

比如说 4! = 4 * 3 * 2 * 1，求 n!　= ? 

我们可以规纳一下：

base case: 0! = 1
n! = n * (n-1) * (n-2) *.....*3*2*1

我们总结后 => f(n) = n * f(n-1)

public static int getFactorial(int n) {
if (n == 0) return 1;
return n * getFactorial(n - 1);
}

2. 斐波那契数列：  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34....

我们归纳一下：

Base case: f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = f(1) + f(0)

所以我们可以总结得到 => f(n) = f(n-1) + f(n-2)

public static int getNthFibnacci(int n) {
if(n == 0) {
return 0;
} else if(n == 1) {
return 1;
} else {
return getNthFibnacci(n-1) + getNthFibnacci(n-2);
}
}

3. 将数组逆向排列

public static <E> void reverseArray(E[] array, final int left, final int right) {
if (left < right) {
// swap objects at index i and index j
E temp = array[right];
array[right] = array[left];
array[left] = temp;

// recursive
reverseArray(array, left + 1, right - 1);
}
}Linear Recursion：最简单的递归是线性递归，也就是说在每次执行中，最多只执行一次逓归方法。比如说上面的例1

Binary Recursion：而当每次执行二次递归方法时，比如说上面的例2我们称其为 Binary Recursion。递归的方式可以让我们的代码写起来更简洁，而代价就是运行时多占用内存。在内存有限的情况下，我们就使用
while/ for loop 的方式解决问题。

练习

1. 写一段代码可以将返回集合内的所有子集

首先我们得想清楚我们的时间和空间复雜度。我们可以先这么想，每一个子集可以是存在或是不存在，所以每一个子集有2个选择，第一个有2个，第二个有2个…到最后一个有2个，因此，这一共有 2^n 个子集合。

解法一、递归

a. f(n) 集合数组 S = [0,1,...n], 第一个子集为S[0]，则较小的集合数组 f(n-1) = S[1,2...n]。

b. 取得较小集合的所有子集合，还有第一项。遍历所有子集合，全加上第一项。

c. 将新集合加入。

public static <E> ArrayList<ArrayList<E>> getAllSubSet(ArrayList<E> set, int index) {
ArrayList<ArrayList<E>> allSubSet;
if (set.size() == index) {
allSubSet = new ArrayList<>();
allSubSet.add(new ArrayList<E>()); // 空集合为任何集合的子集合
} else {
allSubSet = getAllSubSet(set, index + 1);
E item = set.get(index);
ArrayList<ArrayList<E>> moreSubSet = new ArrayList<>(); // try to avoid concurrentMod exception
for (ArrayList<E> subset : allSubSet) {
ArrayList<E> newSubset = new ArrayList<E>();
newSubset.addAll(subset);
newSubset.add(item);
moreSubSet.add(newSubset);
}
allSubSet.addAll(moreSubSet);
}
return allSubSet;
}

2. 实现一个方法取得一个字符串的所有排列。

字符串长度为0时，便是空字符串；若为1的话，则只有1种；如果是2的话，比如 "ab"，就是 ab或是 ba；如果是 abc，就是 a 插入[bc]中的所有字符串组合,  a插入[cb]中的所有字符串组合…依此类推 ...

public static ArrayList<String> getAllPermutation(String text) {
if (text == null) {
return null;
}

ArrayList<String> permutations = new ArrayList<>();
if (text.isEmpty()) {
permutations.add("");
return permutations;
}

final char first = text.charAt(0);
String substring = text.substring(1);
ArrayList<String> subPermStrings = getAllPermutation(substring);
for (String perm : subPermStrings) {
final int size = perm.length();
for (int i = 0; i <= size; i++) {
permutations.add(addCharToStringAt(perm, i, first));
}
}

return permutations;
}

private static String addCharToStringAt(String perm, int i, char first) {
String start = perm.substring(0, i);
String end = perm.substring(i);
return start + first + end;
}

3. 实现一个方法返回 n对括号的组合

范例:

输入：3 (e.g., 3 pairs of parentheses)

输出： ()()(), ()(()), (())(), ((()))

我们使用递归的方法，产生所有括号组合，然后打印出合格的。

left：只要我们还有左括号，我们可以不断产生左括号。

right：只要次数不多於左括号，我们便能产生右括号。

public static void getCharArray(int left, int right, char[] str, int strIndex) {
if (left < 0 || right < left) {
return;
}

if (left == 0 && right == 0) {
System.out.println(str);
} else {
if (left > 0) {
str[strIndex] = '(';
getCharArray(left - 1, right, str, strIndex + 1);
}

if (right > left) {
str[strIndex] = ')';
getCharArray(left, right - 1, str, strIndex + 1);
}
}
}

4. 小画家里，有个功能，就是将特定色块的颜色变成另外一种颜色。因此，我们用二维数组代表屏幕，开始变色的起始点，新旧颜色。根据已给出的条件，请实现该方法。

public void paintFill(int[][] screen, int x, int y, int originColor, int newColor) {
if (screen.length < y || screen[0].length < x || x < 0 || y < 0) {
return;
}

if (screen[y][x] == originColor) {
screen[y][x] = newColor;
paintFill(screen, x, y - 1, originColor, newColor); // up
paintFill(screen, x, y + 1, originColor, newColor); // down
paintFill(screen, x - 1, y, originColor, newColor); // left
paintFill(screen, x + 1, y, originColor, newColor); // right

}
}

所有代码都在Github上