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机器学习（四）：BP神经网络_手写数字识别_Python

2016-11-05 11:33 603 查看

机器学习算法Python实现

github地址:https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python

由于公式使用的是LaTex，解析使用的google的Chart API，所以显示有问题，可以移步github（可以翻墙就不用了）

三、BP神经网络

全部代码

1、神经网络model

先介绍个三层的神经网络，如下图所示

输入层（input layer）有三个units（
${x_0}$
为补上的bias，通常设为

）

$a_i^{(j)}$
表示第

层的第

个激励，也称为为单元unit

${\theta ^{(j)}}$
为第

层到第

j+1

层映射的权重矩阵，就是每条边的权重

所以可以得到：

隐含层：

$a_1^{(2)} = g(\theta _{10}^{(1)}{x_0} + \theta _{11}^{(1)}{x_1} + \theta _{12}^{(1)}{x_2} + \theta _{13}^{(1)}{x_3})$

$a_2^{(2)} = g(\theta _{20}^{(1)}{x_0} + \theta _{21}^{(1)}{x_1} + \theta _{22}^{(1)}{x_2} + \theta _{23}^{(1)}{x_3})$

$a_3^{(2)} = g(\theta _{30}^{(1)}{x_0} + \theta _{31}^{(1)}{x_1} + \theta _{32}^{(1)}{x_2} + \theta _{33}^{(1)}{x_3})$

输出层

${h_\theta }(x) = a_1^{(3)} = g(\theta _{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \theta _{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \theta _{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \theta _{13}^{(2)}a_3^{(2)})$
其中，S型函数
$g(z) = \frac{1}{{1 + {e^{ - z}}}}$
，也成为激励函数

可以看出
${\theta ^{(1)}}$
为3x4的矩阵，
${\theta ^{(2)}}$
为1x4的矩阵

${\theta ^{(j)}}$
==》

j+1

的单元数x（

层的单元数+1）

2、代价函数

假设最后输出的
${h_\Theta }(x) \in {R^K}$
，即代表输出层有K个单元

$J(\Theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^K {[y_k^{(i)}\log {{({h_\Theta }({x^{(i)}}))}_k}} } + (1 - y_k^{(i)})\log {(1 - {h_\Theta }({x^{(i)}}))_k}]$
其中，
${({h_\Theta }(x))_i}$
代表第

个单元输出

与逻辑回归的代价函数
$J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]$
差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

–>所有层的个数

${S_l}$
–>第

层unit的个数

正则化后的代价函数为

![enter description here][16]

$\theta$
共有

L-1

层，

然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码：

# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
# 还原theta1和theta2
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)

# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')

m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
# 正则化向theta^2
term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))

'''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h  = sigmoid(z3)
'''代价'''
J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m

return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到

J(θ)

,使用梯度下降法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络,
$\delta _{\text{j}}^{(l)}$
记为–>

层第

个单元的误差

$\delta _{\text{j}}^{(4)} = a_j^{(4)} - {y_i}$
《===》
${\delta ^{(4)}} = {a^{(4)}} - y$
（向量化）

${\delta ^{(3)}} = {({\theta ^{(3)}})^T}{\delta ^{(4)}}.*{g^}({a^{(3)}})$

${\delta ^{(2)}} = {({\theta ^{(2)}})^T}{\delta ^{(3)}}.*{g^}({a^{(2)}})$

没有
${\delta ^{(1)}}$
，因为对于输入没有误差

因为S型函数
${\text{g(z)}}$
的倒数为：
${g^}(z){\text{ = g(z)(1 - g(z))}}$
，所以上面的
${g^}({a^{(3)}})$
和
${g^}({a^{(2)}})$
可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为：

$\Delta _{ij}^{(l)} = 0$
（
$\Delta$
是大写的
$\delta$
）

for i=1-m:

-
${a^{(1)}} = {x^{(i)}}$

-正向传播计算
${a^{(l)}}$
（l=2,3,4…L）

-反向计算
${\delta ^{(L)}}$
、
${\delta ^{(L - 1)}}$
…
${\delta ^{(2)}}$
；

-
$\Delta _{ij}^{(l)} = \Delta _{ij}^{(l)} + a_j^{(l)}{\delta ^{(l + 1)}}$

-
$D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^l\begin{array}{c} {}& {(j \ne 0)} \end{array}$

$D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^lj = 0\begin{array}{c} {}& {j = 0} \end{array}$

最后
$\frac{{\partial J(\Theta )}}{{\partial \Theta _{ij}^{(l)}}} = D_{ij}^{(l)}$
，即得到代价函数的梯度

实现代码：

# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0]
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]

Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重

Theta1[:,0] = 0;
Theta2[:,0] = 0;
'''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h  = sigmoid(z3)

'''反向传播，delta为误差，'''
delta3 = np.zeros((m,num_labels))
delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
for i in range(m):
delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))

'''梯度'''
grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了

链式求导

法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的

非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推到过程：

6、梯度检查

检查利用

BP

求的梯度是否正确

利用导数的定义验证：

$\frac{{dJ(\theta )}}{{d\theta }} \approx \frac{{J(\theta + \varepsilon ) - J(\theta - \varepsilon )}}{{2\varepsilon }}$

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

实现代码：

# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
'''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
input_layer_size = 3
hidden_layer_size = 5
num_labels = 3
m = 5
initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y

y = y.reshape(-1,1)
nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta
'''BP求出梯度'''
grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y, Lambda)
'''使用数值法计算梯度'''
num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
e = 1e-4
for i in range(nn_params.shape[0]):
step[i] = e
loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
step[i]=0
# 显示两列比较
res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化

theta

为

,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

实现代码

# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
return W

8、预测

正向传播预测结果

实现代码

# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
m = X.shape[0]
num_labels = Theta2.shape[0]
#p = np.zeros((m,1))
'''正向传播，预测结果'''
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))

'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p

9、输出结果

梯度检查：

随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度

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标签： python github 神经网络机器学习

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