最长公共子序列

1.问题描述：

什么是最长公共子序列呢?好比一个数列 S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。

举个例子，如：有两条随机序列，如 1 3 4 5 5 ，and 2 4 5 5 7 6，则它们的最长公共子序列便是：4 5 5。

注意：【最长公共子串（Longest CommonSubstring）和最长公共子序列（LongestCommon Subsequence, LCS）的区别】

子串（Substring）是串的一个连续的部分，子序列（Subsequence）则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素 而获得的新序列；更简略地说，前者（子串）的字符的位置必须连续，后者（子序列LCS）则不必。比如字符串acdfg同akdfc的最长公共子串为df， 而他们的最长公共子序列是adf。LCS可以使用动态规划法解决。下具体描述。

2.解决思路：

2.1穷举法

（靠蛮力啊。。。）

2.2动态规划法

用动态规划法首先要判断该问题是否符合动态规划法的条件。时间复杂度O（n^2)。

(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

(3) 有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

3.源码：

// LCSTest.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
#include "stdafx.h"
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

void LCS(string str1,string str2)
{
int len1=str1.length;
int len2=str2.length;
//int **dp=new int[len1+1][len2+1];
vector<vector<int> > dp(len1+1,vector<int>(len2+1));

//动态规划初始值
for(int j=0;j <=len2;j++)
dp[0][j]=0;
for(int i=0;i <=len1;i++)
dp[i][0]=0;

for(int i=0;i < len1;i++)
for(int j=0;j < len2;j++)
{
if(str1.at(i)==str2.at(j))
{
dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
}
else if(dp[i][j+1] > dp[i+1][j])
dp[i+1][j+1]=dp[i][j+1];
else
dp[i+1][j+1]=dp[i+1][j];
}
cout<<"最长公共子序列长度为："<<dp[len1][len2]<<endl;

int ti=0;
int tj=0;
while(ti<len1 && tj<len2 )
{
if(str1.at(ti)==str2.at(tj))
{
cout<<str1.at(ti)<<" ";
ti++;
tj++;
}
else if(dp[ti+1][tj] >=dp[ti][tj+1])
ti++;
else
tj++;
}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
string str1="asddgflsksdjflkdf";
string str2="sdflsdzf";
LCS(str1,str2);
return 0;
}