小项目：大数的基本运算

大数运算        

                        

开发环境：Visual Studio 2015

主要技术：string,C++类

项目描述：

1.对于计算机不能进行计算的大数据进行处理，让计算机实现大数据的读入、输出和基本运算；

2.使用C++类将超过内置类型(long long int)范围的数转换成字符串进行存储，并将存储大数的字符串拆开进行分析，逐位进行运算储存,即将大数问题分解成单个字符的相互运算；

3.实现大数的读入，输出以及大数的加，减，乘，除运算功能。

大数运算的实现方法主要有以下几种：

（1） 用字符串表示大数。将大数用十进制字符数组表示，然后按照“竖式计算”的思想进行计算。这种方法比较容易理解，但是计算效率很低。

（2）将大数看成二进制流进行处理。使用各种位运算和逻辑操作来实现大数的运算。该方法设计复杂，可读性较差，而且难以调试。

（3）将大数表示成一个n进制数组。n的取值越大，数组的大小越小，这样可以缩短运算的时间及空间复杂度，提高算法的效率。在32位系统中，n可以取2^32，这时每一位的取值范围是0~0xffffffff。

 

    这里考虑用方法（3）来实现，当n=2^32时，大数的每一位恰好是unsigned
long 的范围，考虑到加法和乘法中进位时的溢出现象不好判断，可以选取long long型，并且对于每个大数，包含一个变量表示其符号，一个变量来表示其长度，一个数组来存储每一位的值。于是，可以用下面结构体表示一个大数：

typedef struct LargeNumber
{
bool tag;                          // 标志大数的符号 true：正数 ，false ：负数
int length;                         // 记录大数的长度
long long bigInt[SIZE];              // 记录大数各位的值

LargeNumber( const bool& t=true,const int& len=0)
{
tag = t;
length = len;

for( int i=0; i<SIZE; ++i )
{
bigInt[i]= 0;
}
}
};

一、大数加法

   假设在加法中两个操作数都是大于0的。按照“竖式计算”的思想，首先将两操作数低位对齐，然后从最低位开始按“位”相加，当“位”相加的结果大于2^32-1时做进位处理（carry=1），否则不进位（carry=0）。



符号演示：op1=ABCD， op2=EFG

    A  B  C  D

    +  E  F  G

-------------------

H  I  J  K   L

 

   初始化carry=0，其中若D+G+carry>0xffffffff则L=D+G+carry-0xffffffff-1,
carry=1；否则L=D+G+carry，carry=0，按照上述方法计算K,J,I,H。

 

例如：0x1  0x1  0x1  + 0xffffffff 0xffffffff; 初始carry=0

运算过程：

（1）0x1+0xffffffff+0>0xffffffff, 所以计算结果的最低位result.bigInt[0]=0x0,carry=1;

（2）0x1+0xffffffff+1>0xffffffff,所以result.bigInt[1]= 0x1+0xffffffff+1-0xffffffff-1=1,carry=1;

（3）0x1+1<0xffffffff,所以result.bigInt[2]=2;result.length=2;

 

最终结果为2  1  0

 

二、大数减法

   为了简化计算，假设被减数总是不小于减数，这样计算的最终结果总是大于等于0。基本思路和大数加法基本一致，减法中可能需要借位，定义并初始借位变量borrow=0。显然，borrow要么等于0，要么等于1。

 


例如：0x1 0x1 0x1 – 0xffffffff  0xffffffff;初始borrow=0

计算过程：

(1) 0x1<0xfffffff+borrow,这时需要借位，result.bigInt[0]= 0xffffffff-(0xffffffff+0-0x1)+1=2,borrow=1;

(2)0x1<0xffffffff+borrow,于是result.bigInt[1]= 0xffffffff-(0xffffffff+1-0x1)+1=1,borrow=1;

(3)0x1=0+borrow,于是result.bigInt[2]=0, borrow=0;

 

最终结果为：1  2

三、大数乘法

   假设乘法的两个操作数均为正数。按照“竖式计算”的思想，大数的乘法可以借助大数的加法，用乘数的每一位乘以被乘数，然后将每一次的计算结果相加。在每位相乘的过程中依然存在进位现象，而且此时进位不只是1，还存在更大的数。

 


过程演示：

        A   B

  *    C   D

---------------

       E  F G

+ H  I  J

----------------------------

K M N  O P

 

      其中，若B*D+carry>0xffffffff,那么进位G=(B*D+carry)%0xffffffff，carry=(B*D+carry)/0xffffffff;

否则，G=B*D+carry,carry=0;按照上述计算原则计算,F E J I H.并按照大数加法的计算方法计算P
O N M K。

 

例如： 0x1  0x1  0x1 * 0xffffffff  0xffffffff。

计算过程：

（1）0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff =0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff

（2）0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff =0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff,由于这是乘数的第一位，所以结果“扩展一位”，变成0xffffffff
0xffffffff 0xffffffff 0x0

（3）计算0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff + 0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff 0x0

（4）结果为1 0 0xffffffff 0xfffffffe 0xffffffff

 

四、大数除法 

  除法建立在乘法的基础上，循环搜索num使得num*op1==op2，效率较低。

 


 
完整代码链接：https://github.com/yaoyaoyanxiao/BigDataOperation
 
运行结果：