专题总结：数据结构总结【转】

常见的数据结构运用总结

考虑到Obsidian三个成员的擅长领域，这段时间都在做杂题，算是学习各种算法吧，趁现在休息的时间，而且大家马上要备战今年的比赛了，写写自己专攻方面的一些心得吧

扯开线段树、平衡树这些中高级的东西，先说说基础的数据结构

栈

算是代码量最小的数据结构？出栈进栈都只有一句话而已

常见用途：
消去一个序列中的相同元素(做法大家应该都知道了吧，见过很多次了)
维护一个单调的序列(所谓的单调栈，dp的决策单调？)
表达式求值(经典的栈运用，如果使用的很熟悉的话，可以处理一元、二元运算，不过最近没见过类似的题目了)
用于辅助其他算法(计算几何中的求凸包)

队列

队列应该还是很常见的数据结构了，如果专攻图论的话，spfa应该是写烂了的
这里说到的队列，是狭义的普通的队列和循环队列，不包括后面讲的一些变形
注意循环队列的写法，尽量不要使用取模运算，不然的话，遇到不厚道的出题者，可以把取模的循环队列卡到死

常见用途：
主要用于辅助其他算法，比如说spfa，bfs等(建议习惯用stl的孩子手写queue，毕竟就几行代码而已，偷懒会付出代价的。。。)

双端队列

如果写dp写的多的话，这个东西应该还是算是比较基础的东西了，双端队列多用于维护一个满足单调性的队列
还是建议手写，stl的deque使用块状链表写的，那东西的复杂度是O(Nsqrt(N))的，不要被迷惑了。

常见用途：
dp的单调性优化，包括单调队列优化和斜率优化，都要用到这个结构
计算几何中的算法优化，比如半平面交
树的分治问题中利用单调队列减少转移复杂度

链表 Dancing Links

写图论的不要告诉我不会写这货，链表可以写单双向，循环非循环的，高级点儿的可以考虑十字链表，麻花链表
不过链表可以说是树形结构的基础，如果这个掌握的不好，那么树形结构写起来就会很纠结
链表的优势在于可以O(1)的插入删除，如果要求插入的位置只是在序列的两端的话，这个数据结构是最方便的了(无视双端队列)
hash表就是用链表实现的，熟悉hash的同学可以试试看怎么使你的hash效率提高

常见用途：
图的邻接表，维护不确定规模的二维数组
约瑟夫问题，复杂度O(NlogN)
单纯考链表的题目，比如说类似文本编辑器的东西
算法实现上辅助，比如说POJ3183
搜索优化，最经典的就是Dancing Links
维护路径，嗯，这类问题就比较恶心了，有两题都是类似的问题，题的名字都叫做植物大战僵尸……

字典树 自动机

字典树又称为前缀树，用于维护一系列串(不一定是字符串，可以把一个数字看成二进制串，k进制串等)，我们可以通过字典树解决很多关于串的问题

常见用途：
字符串匹配(最基础的用途了吧)
字符串hash(利用字典树可以在O(N)的时间内查出一个串是否在集合中，N是串的长度)
构建dp转移矩阵(其实很多题目都是利用自动机构建转移矩阵，然后矩阵快乘的，这也算是比较基础的运用了)
字符串在自动机上的dp(这个是很大的一块，算是自动机最大的运用点)

堆 优先队列

堆在这段时间运用的次数明显增加了很多，自从某学校出了那计算几何扫描线之后，大家对这个数据结构不像原来那么陌生了
普通堆代码量在20到30行左右，如果需要支持更改权值，删除特定结点的操作的话，需要改点堆，代码会多那么10行左右
大家对于堆的最早理解，可能就是堆优化dij了，这个也算是它的一个很重要的运用吧

常见用途
堆优化dijkstra(很经典的运用)
极角扫描线(详见Visible Segments)
某些贪心的题(我记得ZOJ月赛出过好几次的？CF也有类似的题目，还有一题经典的倒水问题HDU1692)
堆优化的prim(已经很久没见过非要这么写的题目了，最经典的问题是最优比例生成树)
搜索中的优化(大家都懂得，A*算法基于优先队列)
满足偏序关系的集合(其实极角扫描线算是这个的一个子类了，很多问题可以转化过来)

并查集

这个东西应该在关于树的问题中非常常见了，用在非常多关于集合的合并问题上

常见用途：
离线LCA(tarjan算法的精髓就是并查集)
集合维护，比如说POJ的食物链和我们OJ的Food，这个算是扩展并查集的经典运用之一

几类可以用基础数据结构解决的经典树上统计问题
求一颗树中任意两点间的距离，我们可以离线LCA，利用并查集维护点到父亲结点的距离，每次找到LCA之后，在LCA结点拉一个处理链表，回溯到LCA的时候处理全部以这个点为LCA的所有查询。
静态查询一棵树某条路径上的最大最小边权，利用并查集维护点到其父亲结点这条路径上的最大边权即可。
给你一棵树，叫你求一条有向路径上前面一个点减去后面一个点的点权差值最大，依然是扩展并查集，怎么实现大家自己想吧。
还有一题是HDU的3804，很经典的题目，这题可以用四种不同的方法过，大家有兴趣的可以YY一下。

基础的数据结构告一段落，下面主要讲讲线段树和树状数组的运用吧，直接说常见用途了，毕竟这个大家用的太多了

常见用途(不扩展)：
dp优化(非常多的dp问题可以用树状数组和数据结构来优化，比如说我们校赛初赛和决赛的某题，dp专题的某题，还有LIS的O(NlgoN)优化等等)
括号序列、树的线性序列统计问题(之前发过了，就不扩展了)

更新点查找区间，更新区间查找点
这个经典问题都是可以利用树状数组来做的，可以说树状数组太强大了，代码短常数小，如果遇到此类的问题，那就是裸的不能再裸了，专攻数据结构的，需要对这类问题的经典模型尽量多的进行掌握。
这类问题最常见的用处就是求逆序对(HDU1394)和求一个区间内一堆直线相交的个数(保证不会有三条直线交于一点，例子ZOJ3157)
URAL1470，三维树状数组，其实和二维没啥区别，就是要抓住如何更新
树状数组的经典运用有两题经典题，一个是POJ2828，一个是HDU3436，后者是前者的动态版，如果可以自己想出这两题的做法，基本上基础的树状数组题目是没有问题了。

更新区间查找区间
这类问题一般是不能使用树状数组来做的(那啥用差分求区间和的无视，那种只是特例而已)，一般正式比赛考察的比较多的就是这类问题，非常重视对懒操作的实现，一般建议大家写一个上传和一个下放函数，即使是就一行，写到函数中，扩展起来可以更方便。
如果想锻炼自己对数据结构的掌握程度，可以尝试利用树状数组和线段树来做Memory Control这题，如果能想出三种或者三种以上的状态定义方法，就基本上合格了。
另外还有一题非常好的考察基本功的题目，是HDU1199，一般的离散化是会有问题的，就看大家怎么写了。
对于懒操作考察的另外一题是POJ3225，算是比较经典的区间翻转的范例了。
如果以上的题目都解决了，就去写zhymaoiing的Rain in the ACStar吧，我们OJ就有，这题写了 基本上对计算几何和数据结构的综合就有感觉了。
最后建议大家去写写SPOJ的GSS系列和QTREE系列，这两个系列在后面会专门提到。

扫描线

这种问题主要遇到的模型有以下几种，括号中是对应的时间复杂度
给你N个矩形，求矩形的并面积(O(NlogN))
给你N个矩形，求矩形的并周长(O(NlogN))
给你N个矩形，每一个矩形有一定的权值，权值最多有K种，求加权的面积并，其中重叠部分用最大权值计算(O(NKlogN))
给你N个矩形，叫你求被覆盖恰好K次或者至少K次的面积(O(NKlogN))
给你N个矩形，每一个矩形有一定的权值，权值最多有K种，求加权的面积并，其中重叠部分用特定的公式计算混合权值(O(2^K*NlogN))
给你N个点，用一个矩形覆盖最多的点(O(NlogN))
给你N个点，M个矩形，询问每一个点是否被包含在任意一个矩形中(O((N+M)log(N+M)))
给你N个点，点分为可选点和不可选点，询问用一个矩形覆盖的最多可选点的数量，任何不可选点都不能被覆盖，询问覆盖最多点的方案数(O(NlogN))

*树链剖分 QTREE
这个是很大的一块，但是也是很恶心的一块内容，如果你觉得自己基础的问题都没有了的话，可以考虑两个选择，一个是学习这个，另外一个就是做做GSS
熟练剖分详看漆子超的论文，具体实现就不讲了，常见的题目，最经典还是SPOJ的QTREE系列了，这个对代码能力的要求还是很苛刻的，在比赛中，如果遇到这类问题，如果又没有强大的代码能力，又没有足够的时间，那就不要去碰它吧。此外剖分推荐GSS7，经典题之一。
我做过的剖分题的列表：SPOJ QTREE1-4 HDU3601 POJ3237 ZJOI2008树的统计 SPOJ GSS7 HDU3804(如果想写就写吧，这题不用剖分的) HDU3966(依然是一道可以不用剖分的题目)

*GSS系列解释
GSS系列是SPOJ的经典线段树题了，其中1、3、5是基础的题目，建议大家在学习了线段树后作为强化用，GSS2和GSS7，其中GSS2是一个非常经典的模型，建议大家花一周的时间慢慢啃，如果自己思维好的话，有可能一个下午想出做法，不过那个题不是想出来就能写出来的。。。GSS7是一个剖分，算是裸的题目了，就是维护的量太多，建议大家代码能力提高之后再来写写。GSS6不是基础的数据结构题，我将在后面提到这题。

以上的数据结构可以覆盖区域赛的中低档题，其中GSS2如果在区域赛中，完全可以算是难题了(前提是没见过此类问题)，对于区域赛中，这些数据结构可以说占了90%以上

下面是一些偏们的数据结构和一些高级数据结构的介绍

划分树

划分树是一个可以在O(NlogN)时间内求出每一个子区间内第K小的数的数据结构，可以算是模板化的东西了，经常和树状数组结合来考察，不过考的不多，所以建议如果专攻数据结构的可以考虑学习一下，但是不要太过于钻难题。

左偏树 斜堆

两类经典的可合并堆，可以在O(NlogN)时间内对数集进行合并，维护最值，建议学习一个，不建议都学习，我觉得没必要。

块状链表

可以说在Splay没有出来的年代，这个是万能的武器，在O(Nsqrt(N))的时间内可以进行序列的翻转、查询操作，可以算是非常无敌了，但是在Splay出来了之后基本上就被遗弃了，不过块状链表的思想是非常好的，CF经常考察利用块状链表做的题目，要学习的话，就专门去看看其思想吧

跳表

这个利用链表进行优化的数据结构，基本上没啥用处，不过可以提提，时间复杂度是均摊的，没有发现一定要这个数据结构解决的问题

平衡树

平衡树可以做几乎所有关于数集的维护操作，常见的平衡树有SBT和Splay，一般的话，建议如果专攻数据结构的可以在巩固了基础数据结构的基础上，学学这两种平衡树。对这两种结构进行比较，Splay的功能和SBT比起来，强大了不止一个档次，但是相应地，其代码量也大了不止一个档次。按照我的代码风格，SBT的代码一般维持在150行左右，但是非要Splay来写的题目，一般代码量会超过200行，甚至超过300行。
如果是对数据集合进行维护，我们一般考虑使用SBT，因为其编码十分方便，常数相对也小了很多，所以首选是这个。相反的，如果涉及到维护序列的问题，那么就需要使用Splay来维护了。
记住一点，那就是好的代码风格，对数据结构的专攻者来说，是非常重要的，相同的结构，有的人需要300行，而且查代码十分不方便，好一点的写法，可以在150行左右解决。对于最简单的SBT问题，一般代码量可以保证在100行左右，那么也就差不多了。毕竟代码写的乱的话，写挂了就不好查了，队友更没办法帮你差，这样就会悲剧。

SBT相关的问题，最基础的是树的遍历和数集的统计问题，比如说举个例子：
给你10^9个数，有两种操作，一个是查询第K小的数是多少，一个是删除第K小的数，很明显，这种动态的问题是不能使用离散化加树状数组来实现的，因为删除的元素也是不确定的。
看到这题第一眼的反应，树状数组，但是发现删除的也是第K小，那么我们就只能使用平衡树了，注意我们肯定不能把10^9个数加入到集合中，这样会MLE的，具体的做法自己可以想想，其实和前面提到的Queue Jumper那题类似，需要一个转化。

常见的SBT操作，需要掌握的有以下几个：
数集相关的操作：
插入删除元素，查询一个比K小的数的个数，查询树中第K小的数，查找元素的前趋后继，查询一个数在集合中出现的次数，删除第K小的数，查询最值。
序列相关的非动态操作(不需要查询区间或者做区间翻转等高级操作)
把一个元素插入到指定位置，删除第K个位置的元素。

对于Splay，我想说的是，这个数据结构运用的地方实在太多了，基本上其他平衡树可以做的，它都可以，但是它可以做的，其他平衡树不一定可以做。去年天津赛区的现场赛还有福州赛区的网络赛都考到了Splay的运用，这种题目在区域赛中一般难度都比较大，平时的话，多写写就当作锻炼代码能力吧。
这里列举一些Splay可以做的事儿，其中SBT可以完成的我就不列举了。
给你一个双关键字的集合，求满足第一关键字在[l,r]区间内的结点的最小关键字(Parking Log)，维护一个序列，求[l,r]的和、最大连续子字段和，对[l,r]区间进行翻转操作(维护数列)，叫你维护一个可合并可拆分的并查集，其中拆分是一个元素从一个集合转移到另外一个集合(LRJ的数据结构专场，DS@HUST，当然这题可以不用Splay)，给你一些结点，现在有合并两个集合，查询集合的最值、第K大操作(四川省OI2011棘手的操作，2011天津赛区Graph and Queries)。

此外我们可以把Splay运用到树链剖分中去，利用Splay进行路径剖分，用splay forest来维护路径，这样可以在O(NlogN)时间内维护一棵树，甚至是一个森林所有树的特性，这就是经典的动态树问题，如果想了解的，可以问我，不过前提是把基础的啃透了:)

平衡树的资料还是很多的，推荐陈启锋的《Size Balanced Tree》以及某论文《利用伸展树解决维护数列问题》，对于动态树的论文，个人认为中文版的都是不能看的，推荐Tarjan的lecture。

对于数据结构的其他方面

高级数据结构需要的是一个自己非常熟悉的模板(前期还是要靠模板活的，熟悉之后的话另当别论了，当然比赛带上模板可以心安)，不过对于数据结构，个人不推荐贴模板，这个如果养成了习惯的话，代码能力是绝对上不来的，如果学了高级数据结构的话，建议每次有题写的时候自己手敲一下，就当培养感情吧。

【参考资料】：

清北SPLAY讲稿： http://wenku.baidu.com/view/a2d5996427d3240c8447efa7.html


杨思雨  算法合集之《伸展树的基本操作与应用》：http://wenku.baidu.com/view/7f0ff024ccbff121dd3683ac.html

运用伸展树解决数列维护问题：http://wenku.baidu.com/view/db0f77661ed9ad51f01df23f.html

QTREE解法的一些研究，杨哲：http://wenku.baidu.com/view/75906f160b4e767f5acfcedb.html

分治算法在树的路径问题中的应用，漆子超：http://wenku.baidu.com/view/8861df38376baf1ffc4fada8

漆子超