求LCA最近公共祖先的在线ST算法_C++

　　ST算法是求最近公共祖先的一种 在线 算法，基于RMQ算法，本代码用双链树存树

　　预处理的时间复杂度是 O(nlog2n) 查询时间是 O(1) 的

　　另附上离线算法 Tarjan 的链接：

　　　　http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5840390.html

　　首先预处理出深度，以及 DFS 序，这里的DFS序是指回溯时也算上，比如

void dfs(int x,int dep)
{
int i;
d[x]=dep;
a[++top]=x;
for (i=down[x];i!=0;i=next[i])
{
dfs(i,dep+1);
a[++top]=x;
}
}

　　然后记录每个节点在 DFS 序中第一次出现的位置，b[i] 为第 i 号节点第一次出现的位置

for (i=1;i<=top;i++) if (b[a[i]]==0) b[a[i]]=i;

　　开始 DP 处理区间区间内最小值，这里使用 RMQ 算法，其功能类似于线段树或树状数组

　　f[i][j] 表示从第 i 位开始，连续 2j 个数的最小值，状态转移：

f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1])

　　因为它是 2 的幂次方的状态，所以每次转移可以看做把当前状态分为两个相等的部分，求两部分的最小值

　　如： 5 7 3 2 和 4 6 1 5

　　　　 min=2 min=1

　即 f[1][2]=2 f[5][2]=1

　　所以 f[1][3]=min(f[1][2],f[5][2])=1

　　初始状态：f[i][0]=d[a[i]] loc[i][0]=a[i]

　　注意这里 f 记录的是它的深度的最小值，而位置用 loc 记录

void init()
{
int i,j,s,x,k;
for (i=1;i<=top;i++)
{
f[i][0]=d[a[i]];
loc[i][0]=a[i];
}
s=log2(top);
for (j=1;j<=s;j++)
{
k=top-(1<<j)+1;
for (i=1;i<=k;i++)
{
x=i+(1<<(j-1));
if (f[i][j-1]<=f[x][j-1])
{
f[i][j]=f[i][j-1];
loc[i][j]=loc[i][j-1];
}
else
{
f[i][j]=f[x][j-1];
loc[i][j]=loc[x][j-1];
}
}
}
}

　　代码用变量优化了一下常数

　　接着开始进行询问

　　读入两个节点，查询它们第一次出现的位置

　　在这两个位置之间的区间查询最小深度的节点，该节点即为最近公共祖先

　　查询区间时，我们把它分成两个部分，可以有重叠，如

　　　　8 9 6 5 6 8 4

　　这7个节点，把它分成： 8 9 6 5 和 5 6 8 4

　　　　　　　　　　　　　 min=5 min=4

　　则最小值为 min(5,4)=4

min(f[x][log2(y-x)],f[y-(1<<i)+1][log2(y-x)]);

　　可以这样理解：

　　　　将两个位置的距离取个对数记为 i，然后从最左边，往后共 2i 个数的最小值，这是第一部分

　　　　第二个部分是从右边往左推 2i 个数，即 y-2i+1，然后再往后取 2i 个数

　　成功将区间分为两部分

scanf("%d",&t);
while (t>0)
{
t--;
scanf("%d%d",&x,&y);
x=b[x];
y=b[y];
if (x>y) swap(x,y);
i=log2(y-x);
k=y-(1<<i)+1;
printf("%d\n",f[x][i]<f[k][i]?loc[x][i]:loc[k][i]);
}

　　代码内有常数优化，有的地方思路可能不是很清晰，请谅解

　　给个完整代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100001
using namespace std;

int a[N*2],d
,down
,next
,top,f[2*N][18],loc[2*N][18],n,b
;
int log2(int x)
{
int k=0;
while (x>1)
{
x/=2;
k++;
}
return k;
}
void dfs(int x,int dep)
{
int i;
d[x]=dep;
a[++top]=x;
for (i=down[x];i!=0;i=next[i])
{
dfs(i,dep+1);
a[++top]=x;
}
}
void init()
{
int i,j,s,x,k;
for (i=1;i<=top;i++)
{
f[i][0]=d[a[i]];
loc[i][0]=a[i];
}
s=log2(top);
for (j=1;j<=s;j++)
{
k=top-(1<<j)+1;
for (i=1;i<=k;i++)
{
x=i+(1<<(j-1));
if (f[i][j-1]<=f[x][j-1])
{
f[i][j]=f[i][j-1];
loc[i][j]=loc[i][j-1];
}
else
{
f[i][j]=f[x][j-1];
loc[i][j]=loc[x][j-1];
}
}
}
}
int main()
{
int i,k,x,y,t;
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;i++) down[i]=d[i]=next[i]=0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
next[i]=down[x];
down[x]=i;
}
top=0;
dfs(down[0],1);
for (i=1;i<=top;i++) if (b[a[i]]==0) b[a[i]]=i;
init();
scanf("%d",&t);
while (t>0)
{
t--;
scanf("%d%d",&x,&y);
x=b[x];
y=b[y];
if (x>y) swap(x,y);
i=log2(y-x);
k=y-(1<<i)+1;
printf("%d\n",f[x][i]<f[k][i]?loc[x][i]:loc[k][i]);
}
return 0;
}

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