PageRank简单实现中的一个错误

在我的一篇博客PageRank中，在5.1 算法实现中简单实现部分原本是有一个错误的。这个错误也体现出我当时对PageRank算法有理解上的偏差。

这是个什么样的错误呢？是这样的：

简单实现中计算每个网页的PR值时使用的是最原始的方法，即下面的这个公式：

\[
PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 - \alpha)}{N}
\]

这个公式要求所有网页的PR值之和为1。而我原本的代码中给每个网页赋予的初始PR值的代码为：

page_rank = dict.fromkeys(nodes, 1.0)  # 给每个节点赋予初始的PR值

也就是说，我给出的初始PR值之和为5（例子中共有5个网页）。

犯这个错误的原因是我理解错了“与\(P_0\)的选取无关”这句话。正确的理解应该是：“与\(P_0\)的初始概率分布无关”。

然而，我理解错了也还有另一个原因，那就是我原来的程序中不管给出的初始PR值是多少，最终的PR值都是一样的。现分析如下：

按照我原本的程序逻辑，我使用的公式应该是这样的，其中\(G\)为所有网页：

\[
PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} +
\frac{(1 - \alpha)}{N} \sum_{p_k \in G} PR(p_k)
\]

而我却使用了最原始的公式，造成了：

\[
每轮迭代，每个页面的PR值都减少了 \frac{(1 - \alpha)}{N} * (上轮PR值总和 - 1) \\
\Rightarrow 每轮迭代，PR值总和都减少了 (1 - \alpha) * (上轮PR值总和 - 1)
\]

现假设初始PR值总和为 \(A_0\)，则有：

\[
最开始，PR值总和为：A_0 \\
第一轮迭代之后，PR值总和为：A_1 = A_0 - (1 - \alpha) (A_0 - 1) = \alpha A_0 + 1 - \alpha \\
以此类推，则有 \\
A_{n} = \alpha A_{n-1} + 1 - \alpha \\
\Rightarrow A_{n} - 1 = \alpha (A_{n-1} - 1) \\
\Rightarrow A_{n} - 1 = \alpha^{n} (A_{0} - 1) \\
\Rightarrow A_{n} = \alpha^{n} (A_{0} - 1) + 1\\
\because \alpha < 1 \\
\therefore \lim_{n \rightarrow \infty} A_n = 1
\]

即不管初始PR值为多少，最终其和都将趋于1（若初始值之和小于1，用相似的方法可以证明）。也就是说，最终结果是一样的（因为最终趋于1之后就相当于以“PR值总和为1”的情况又开始了计算）。这一点在代码中也有体现：当PR值设置得很大的时候，需要迭代的次数也相应增大。

总结：应该使用最上面的公式，同时初始PR值总和应该设置为1。