正交矩阵相乘，范数不变性

记录矩阵F范数、2范数与正交矩阵相乘的范数不变性，有些地方也叫做保范性。首先明确一下正交矩阵A'A=AA'=I

先看矩阵的2范数，

即矩阵A的2范数定义为A最大的奇异值。对A做奇异值分解，不妨记作A=USV'，其中U、V为正交矩阵，则在A的两边分别乘以正交矩阵不影响其奇异值，比如说，在A的左边乘以正交矩阵P有PA=PUSV‘，注意到PU乘积仍然为正交矩阵，原因在于(PU)'(PU)=U'P'PU=U'(P'P)U=U'U=I=(PU)(PU)'，也就是说当前的(PU)SV'是PA的奇异值分解，且与A有相同的奇异值矩阵S，所以说PA的2范数与A的2范数相同。而对于F范数，其定义如下：



既然前面得出了奇异值不变的结论，显然F范数也不变。上述内容为矩阵的F范数、2范数的正交保范性。下面对向量的2范数做一个类似的讨论。

向量的2范数为向量元素平方和开根号，证明2范数的不变性与证明元素平方和的不变性等价。方便起见，记向量为a，与正交矩阵相乘得到新向量Aa。向量元素平方和可以表示成a'a，与正交矩阵相乘后的结果为(Aa)'(Aa)=a'A'Aa=a'a，因此可得正交矩阵与向量相乘不改变向量的2范数。

总结起来说就是正交变换不改变矩阵的F范数、2范数，不改变向量的2范数。