数据结构-树-二叉树
2016-07-23 13:51
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树是什么?
一种用于表示具有树状结构性质的数据结构。树的应用
操作系统中的文件目录,D盘是根、Android是D的子节点、sdk是Android的子节点
公司的组织结构图
家族的族谱
树长啥样?
树和图什么关系?
树不包含回路,任意两点之间只有一条路径,树是一个不包含回路的无向图。下面就是包含回路的图,而不是树。
树
任意两点之间只有一条路径一棵树如果有n个节点,那么其恰好有n-1条边
在一棵树中加一条边会构成回路
没有父节点的节点称为根节点,前面第二张图中的1,就是根节点
每个非根节点有且只有一个父节点
术语
根节点:一棵树有且只有一个根节点,在树的最顶部(我称之为大BOSS,通常是公司中的老大、族谱中的祖先)。1就是根节点。
父节点:在其下方拥有直属的节点。如上图中的2,拥有4和5这两个直属的节点,4和5被称为子节点,2是父节点。
子节点:在其上方拥有直属的节点。4和5就是2的子节点。
节点的层次:根节点为第一层、往下推。2、3为第二层;4、5为第三层。
树的深度:节点的最大层次。此处节点的最大层次是3,所以树的深度是3。
叶节点:没有直属子节点的节点。如4、5。
内部节点:不是根节点,其拥有父节点、也拥有子节点。我称之为夹在中间的奥利奥。如2号节点就是内部节点。
参考:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91_(%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84)
二叉树
二叉树是指,其任意一个节点,拥有[至多]两个子节点的树。即如果存在一个深度为n的二叉树,其[至多]拥有2^n-1个节点。
满二叉树
深度为n的满二叉树,其[一定]拥有2^n - 1个节点。即除了叶子节点,其他任意一个节点都是拥有2个子节点。
拥有以下计算公式:
深度为n的满二叉树,总节点个数:2^n - 1
第k层的节点个数:2^k / 2
完全二叉树
假设有一个深度为n的完全二叉树。其第1层到(n-1)层达到最大节点数。
可以看作是深度为(n-1)的满二叉树。
第n层则是[从右向左]连续缺若干节点。
即如果存在右子节点,其一定存在左子节点。
—图片来自谷歌,侵删
第一排第二个图,请注意,从右向左[连续]缺。所以它不是。
二叉树的存储
将每个节点的数字看作数组下标,可以看到使用一个一位数组即可存储一个二叉树。
访问一个父节点的子节点,n为父节点的下标
访问左子节点i = 2n (n ∈ 正整数)
访问右子节点i = 2n + 1 (n ∈ 正整数)
例如2为父节点,下标为2
访问左字节:2*2 = 4
访问右子节点2*2+1 = 5
访问一个子节点的父节点,则下标编号/2
例如4的父节点 = 4 / 2 = 2
5的父节点 = 5 / 2 = 2(下取整)
6的父节点 = 6 / 2 = 3
代码演示
public class DefineBinaryTree { public static void main(String[] args) { int[] binaryTree = new int[8]; for (int i = 1; i < 6; i++) { binaryTree[i] = i; } System.out.println("访问2号节点的左右子节点"); System.out.println("2的左子节点是:" + binaryTree[2*2]); System.out.println("2的右子节点是:" + binaryTree[2*2 + 1]); System.out.println("5的父亲节点是:" + binaryTree[5 / 2]); } }
结果
访问2号节点的左右子节点 2的左子节点是:4 2的右子节点是:5 5的父亲节点是:2
Q:
偶然搜到了一道题,就试着做了一下。分享出来。
一棵有124个叶节点的完全二叉树,最多有( )个节点。 A.247 B.248 C.249 D.250
A:
前提摘要: 计算[满]二叉树第i层的节点个数:2i / 2 深度为h的满二叉树所有节点个数:2i - 1 深度为h的[完全]二叉树的总节点个数 可以看作 h-1层的满二叉树所有节点个数 + h层的节点个数 首先估计h的值 在第h层,节点个数是124 2h / 2 = 124 2 h = 248,所以h可以估计为8 表示124个叶子节点中,[大部分]落在了第8层 h = 8,那么我们将前7层看作满二叉树 前7层的总节点个数为27-1 = 127 仅第7层的节点个数为27 / 2 = 64 因为第7层有64个节点,那么扩展下来[应该]有128个子节点 然而题中说到只有124个叶子,计算124个子节点需要多少个父节点 124 / 2 = 62 也就是说第七层的64个节点中,现在有2个是叶子节点 因此从124个叶子节点中减去2个,124-2=122 也就是说,此时第8层有122个叶子节点 完了嘛?没有。 122/2=61,还要少一个父节点,即第7层多了1个叶子节点 再减去一个叶子节点给第7层,122-1=121
最终答案:127+121 = 248。
问题来源:http://www.nowcoder.com/questionTerminal/761907e18b9f4ba7af93bfa77c7bd1a2?toCommentId=151949
END
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