NOIP 2013 - Day 1 货车运输 重庆一中高2018级竞赛班第二次测试 2016.7.13 Problem 4

【问题描述】

A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物，司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

【输入格式】

第一行有两个用一个空格隔开的整数 n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。

接下来 m 行每行 3 个整数 x、y、z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意：x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路。

接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。

接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x 不等于 y。

【输出格式】

输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。

　　

【输入输出样例】

bus.in

4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3

bus.out

3
-1
3

【数据范围】

对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000；

对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000；

对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

思路：该题可使用并查集将边按权值由大到小的顺序加入集合的方法实现，但是因为查询数据过多，因此选用另一种算法。

可先用Kruskal演算法生产最大生成树，树上任意两点之间的距离比其他生成树都大。然后以1（或任意一点）为根结点，计算这棵树上各结点的深度dep，到根结点的距离dist，父亲结点fa。结点x到fa[x]的距离dist[x]-dist[fa[x]]即为x->fa[x]这条道路的权值。输入数据x,y后，从x,y进行LCA，在遍历过的道路中找最小值即为货车最大载货量。

/*
Name: track.cpp
Copyright: Twitter & Instagram @stevebieberjr
Author: @stevebieberjr
Date: 14/07/16 14:34
*/
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 50005
using namespace std;

int n,m,q,pa[maxn];
vector<int>g[maxn],w[maxn];
int fa[maxn],dist[maxn],dep[maxn],vis[maxn];

struct edge
{
int u,v,w;
friend bool operator < (edge a,edge b)
{
return a.w-b.w<0;
}
}; //结构体存储边的数据

vector<edge>E; //变长数组更省内存

/*bool cmp(edge a,edge b)
{
return a.w>b.w;
}*/

void init()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
E.push_back((edge){x,y,z});
}
} //输入边的数据

void initial()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
pa[i]=i; //将图清空
}
}

int find(int x)
{
if(pa[x]==x) return x;
int root=find(pa[x]);
pa[x]=root;
return root;
} //寻找x所在集合的代表元素

bool check(int x,int y)
{
return find(x)==find(y);
} //检查x,y是否在同一集合中

void Union(int x,int y)
{
pa[find(x)]=find(y); //并集，将x所在集合的代表元素的pa赋值为y所在集合的代表元素
}

int LCA(int x,int y) //LCA爬根的同时寻找路径上的最小边
{
int ans=0X7FFFFFFF; //ans定义为无穷大
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); //若x深度小于y，交换x和y，保证先爬x
while(dep[x]!=dep[y])
{
ans=min(ans,dist[x]-dist[fa[x]]);
x=fa[x];
} //先爬x直到x与y在同一深度
while(x!=y)
{
ans=min(ans,dist[x]-dist[fa[x]]);
ans=min(ans,dist[y]-dist[fa[y]]);
x=fa[x];
y=fa[y];
} //同时爬x和y
return ans; //返回ans
}

void DFS(int i,int cnt) //DFS遍历生成fa,dep,dist数组
{
vis[i]=cnt; //用vis标记所属连通分量
for(int k=0;k<g[i].size();k++)
{
int j=g[i][k],c=w[i][k];
if(vis[j]) continue;
dist[j]=dist[i]+c;
dep[j]=dep[i]+1;
fa[j]=i;
DFS(j,cnt);
}
}

void Kruskal() //Kruskal生成最大树
{
initial();
sort(E.begin(),E.end()); //将边按权值由小到大排序
for(int i=E.size()-1;i>=0;i--) //反向遍历从权值最大的边开始
{
int x=E[i].u,y=E[i].v,c=E[i].w;
if(check(x,y)) continue; //避免产生环
Union(x,y); //并集
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
w[x].push_back(c);
w[y].push_back(c); //建立树的存储结构
}
}

void solve()
{
init();
Kruskal();
memset(vis,0,sizeof(vis));
int t=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(vis[i]==0)
{
fa[i]=i;
dep[i]=1;
dist[i]=0;
DFS(i,++t);
}
}
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int s,t;
scanf("%d%d",&s,&t);
if(vis[s]!=vis[t]) //起点与终点不在一个连通分量中，即不连通
{
printf("-1\n");
continue;
}
printf("%d\n",LCA(s,t)); //LCA找s到t路径上的最小权值
}
}

int main()
{
freopen("track.in","r",stdin);
freopen("track.out","w",stdout);
solve();
return 0;
}