动态规划算法总结及实例简介

动态规划特点：

1. 把原始问题划分为一系列子问题。

2. 求解每个子问题仅一次，并将其结果保存在一个表中，以后用到时直接存取，不重复计算，节省时间。

3. 自底向上的计算。

适用范围：

一类优化问题：可分为多个相关子问题，子问题的解被重复适用。

适用动态规划的条件：

1. 优化子结构

a. 当一个问题的最优解包含了子问题的优化解时，我们说这个问题具有优化子结构。

b. 缩小子问题集合，只需那些优化问题中包含的子问题，降低实现复杂性。

c. 优化子结构使得我们能自下而上地完成求解过程

2. 重叠子问题

在问题的求解过程中，很多子问题的解将被多次使用。

动态规划的设计模式：

1. 分析优化解的结构

2. 递归地定义最优解的代价

3. 自底向上地计算优化解的代价并保存之，并获取构造最优解的信息。

4. 根据最优解的信息构造优化解

实例简介（参考算法导论教材第15章）：

1. 装配线调度问题：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
int m[2][6]={0};//记录装配的时间代价
int s[2][6]={0};//记录装配的路径选择
int a[2][6]={{7,9,3,4,8,4},{8,5,6,4,5,7}};
int e1=2,e2=4,x1=3,x2=2;
int t[2][5]={{2,3,1,3,4},{2,1,2,2,1}};
m[0][0]=e1+a[0][0];
m[1][0]=e2+a[1][0];
for(int j=1;j<6;j++){
for(int i=0;i<2;i++){
int temp1=m[1-i][j-1]+t[1-i][j-1]+a[i][j];
int temp2=m[i][j-1]+a[i][j];
if(temp1<temp2){
m[i][j]=temp1;
s[i][j]=1-i+1;
}
else{
m[i][j]=temp2;
s[i][j]=i+1;
}
}
}
for(int i=0;i<2;i++){
for(int j=0;j<6;j++){
cout<<m[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
for(int i=0;i<2;i++){
for(int j=0;j<6;j++){
cout<<s[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int line;
for(int i=5;i>=0;i--){
if(i==5){
if(m[0][i]+x1<m[1][i]+x2){
cout<<"The shortest time consuming is "<<m[0][i]+x1<<endl;
cout<<"line:"<<endl;
line=0;
cout<<line+1<<" ";
}
else{
cout<<"The shortest time consuming is "<<m[1][i]+x2<<endl;
cout<<"line"<<endl;
line=1;
cout<<line+1<<" ";
}
}
cout<<s[line][i]<<" ";
line=s[line][i]-1;
}
cout<<endl;
}

2. 矩阵乘法问题：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
void PrintOptimal(int s[][6],int i,int j){//打印优化解结果
if(i==j)
cout<<i+1;
else{
cout<<'(';
PrintOptimal(s,i,s[i][j]-1);
PrintOptimal(s,s[i][j],j);
cout<<')';
}
}
int main(){
int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};
int m[6][6]={0};//记录乘积计算代价
int s[6][6]={0};//记录k值选择标记
const int n=6;
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<n-i;j++){
int temp=1000000;
for(int k=j;k<j+i;k++){
int tmp=m[j][k]+m[k+1][j+i]+p[j]*p[k+1]*p[j+i+1];
if(temp>tmp){
s[j][j+i]=k+1;
temp=tmp;
}
}
m[j][j+i]=temp;
}
}
for(int i=0;i<6;i++){
for(int j=0;j<6;j++){
cout.width(5);
cout<<m[i][j]<<"  ";
}
cout<<endl;
}
for(int i=0;i<6;i++){
for(int j=0;j<6;j++){
cout.width(5);
cout<<s[i][j]<<"  ";
}
cout<<endl;
}
PrintOptimal(s,0,5);
cout<<endl;
}

3. 最长公共子序列问题：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main(){
string str1,str2,str3;
str1="abcbdab";
str2="bdcaba";
str3="";
int m[8][7]={0};
pair<int,int> s[8][7]={make_pair(0,0)};
for(int i=1;i<8;i++){
for(int j=1;j<7;j++){
if(str1[i-1]==str2[j-1]){
m[i][j]=m[i-1][j-1]+1;
s[i][j]=make_pair(-1,-1);
}
else{
if(m[i-1][j]<m[i][j-1]){
m[i][j]=m[i][j-1];
s[i][j]=make_pair(0,-1);
}
else
{
m[i][j]=m[i-1][j];
s[i][j]=make_pair(-1,0);
}
}
}
}
for(int i=0;i<8;i++){
for(int j=0;j<7;j++){
cout<<m[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
for(int i=0;i<8;i++){
for(int j=0;j<7;j++){
cout.width(2);
cout<<s[i][j].first;
cout<<",";
cout.width(2);
cout<<s[i][j].second<<"  ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"The longest common string length is "<<m[7][6]<<endl;
for(int i=7,j=6;i>0&&j>0;){
if(s[i][j].first==-1&&s[i][j].second==-1){
str3=str1[i-1]+str3;
}
int temp=s[i][j].second;
i+=s[i][j].first;
j+=temp;
}
cout<<"The longest common sring is "<<str3<<endl;
}