网易视频云技术分享：Reed Solomon纠删码

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Solomon纠删码。
       纠删码是存储领域常用的数据冗余技术，相比多副本复制而言，纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性。 Reed Solomon Coding是存储领域常用的一种纠删码，它的基本原理如下：给定n个数据块d1,
d2,…, dn，n和一个正整数m， RS根据n个数据块生成m个校验块，
c1, c2,…, cm。对于任意的n和m，从n个原始数据块和m个校验块中任取n块就能解码出原始数据，即RS最多容忍m个数据块或者校验块同时丢失（纠删码只能容忍数据丢失，无法容忍数据篡改，纠删码正是得名与此）。
编码原理

       RS编码以word为编码和解码单位，大的数据块拆分到字长为w的word（字长w取值一般为8或者16位），然后对word进行编解码。所以数据块的编码原理与word编码原理没什么差别，为论述方便，后文中变量Di,
Ci将代表一个word。
首先，把输入数据视为向量D=(D1，D2，…,
Dn）,
编码后数据视为向量（D1, D2,…, Dn, C1, C2,.., Cm)，RS编码可视为如图1所示矩阵运算。下图最左边是编码矩阵，矩阵上部是单位阵（n行n列），下边是vandermonde矩阵B(m行n列),
vandermode矩阵如图2所示，第i行，第j列的原数值为j^(i-1)。之所以采用vandermonde矩阵的原因是，
RS数据恢复算法要求编码矩阵任意n*n子矩阵可逆。





图1： RS纠删码编码运算
数据恢复原理

RS最多能容忍m个删除错误。数据恢复原理的过程如下：
（1）从编码矩阵中删去丢失数据块和丢失编码块对应行。假设D1、C2丢失，根据图1所示RS编码运算等式，我们得到如下B’以及等式。




图2：vandermode矩阵
（2）由于B‘是可逆的，两边乘上B’逆矩阵。



（3）得到如下原始数据D的计算公式




（4）对D重新编码，得到丢失的校验码

      矩阵求逆采用高斯消元法，需要进行实数加减乘除四则运算，无法作用于字长为w的二进制数据。为了解决这个问题，
RS采用伽罗华群GF（2^w)中定义的四则运算法则。 GF(2^w）域有2^w个值，每个值都对应一个低于w次的多项式，这样域上的四则运算就转换为多项式空间的运算[2]。
GF(2^w)域中的加法就是XOR，乘法比较特殊，需要维护两个大小为2^w -1的表格:
log表gflog，反log表gfilog。
乘法公式： a * b = gfilog(gflog(a) + fglog(b)) % (2^w -1)
CRS(Cauchy Reed Solomon)
      RS纠删码的计算代价较高，瓶颈在于乘除法，乘除法操作需要3次查表操作，一次加(减）法操作，一次条件判断，一次取模操作（可优化为一次条件判断和一次减法操作）。
CRS从两个方面优化RS性能

(1) 使用Cauchy编码矩阵， Cauchy编码矩阵的好处是求逆矩阵比较快

(2) 将GF(2^w)中的运算全部转换为XOR，其中的数学原理比较复杂，可参见文献[3]
小结
RS的特点：

(1) 低冗余度，高可靠性。

(2) 数据恢复代价高。丢失数据块或者编码块时， RS需要读取n个数据块和校验块才能恢复数据，数据恢复效率也在一定程度上制约了RS的可靠性。

(3) 数据更新代价高。数据更新相当于重新编码，代价很高，因此常常针对只读数据，或者冷数据。

(4) RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表，通常只能采用16位或者8位字长，不能充分利用64位服务器的计算能力，具体实现上可能要做一些优化。

参考文献：

[1]James S. Plank. Erasure Codes For Storage Application.

[2]James S. Plank. A Tutorial on Reed-Solomon Coding for Fault-Tolerance inRAID-like Systems

[3]James S. Plank. Optimizing Cauchy Reed-Solomon Codes for Fault-TolerantStorage Applications
 
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