星际转移问题[网络流24题之13]

问题描述：

由于人类对自然资源的消耗，人们意识到大约在 2300 年之后，地球就不能再居住了。于是在月球上建立了新的绿地，以便在需要时移民。令人意想不到的是， 2177 年冬由于未知的原因，地球环境发生了连锁崩溃，人类必须在最短的时间内迁往月球。现有 n 个太空站位于地球与月球之间，且有 m 艘公共交通太空船在其间来回穿梭。每个太空站可容纳无限多的人，而每艘太空船 i 只可容纳 Hi 个人。每艘太空船将周期性地停靠一系列的太空站，例如： (1，3，4) 表示该太空船将周期性地停靠太空站 134134134... 。每一艘太空船从一个太空站驶往任一太空站耗时均为 1 。人们只能在太空船停靠太空站(或月球、地球)时上、下船。初始时所有人全在地球上，太空船全在初始站。试设计一个算法，找出让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。

编程任务：

对于给定的太空船的信息，找到让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。

数据输入：

第 1 行有 3 个正整数 n（太空站个数） ， m（太空船个数）和 k（需要运送的地球上的人的个数） 。其中 1<=m<=13,1<=n<=20,1<=k<=50 。

接下来的 m 行给出太空船的信息。第 i+1 行说明太空船 pi 。第 1 个数表示 pi 可容纳的人数 Hpi；第 2 个数表示 pi 一个周期停靠的太空站个数 r ， 1<=r<=n+2 ；随后 r 个数是停靠的太空站的编号 (Si1,Si2,...,Sir) ，地球用 0 表示，月球用 −1 表示。时刻 0 时，所有太空船都在初始站，然后开始运行。在时刻 1，2，3... 等正点时刻各艘太空船停靠相应的太空站。人只有在 0,1,2... 等正点时刻才能上下太空船。

结果输出：

输出共一行，一个正整数，即全部人员安全转移所需的时间，如果问题无解，则输出 0 。

输入文件示例

2 2 1

1 3 0 1 2

1 3 1 2 –1

输出文件示例：

5

分析

这个题我先用并查集判断问题有无解，若有解则直接枚举答案，用网络流来判断答案是否可行。

假设第 i 天时第 j 艘太空船的位置在 aj,i，第 i−1 天时第 j 艘太空船的位置在 aj,i−1，第 i 天时，第 k 个空间站为 ki 图的源点为 S ，第 j 艘太空船的容量为 hj 。从 S 到 0（即地球） 连一条容量为 k 的有向边。

以下的 d 表示枚举的天数

因为人可以在空间站逗留，故对于每一个空间站 r ，从 rd−1 到 rd 连一条容量为 +∞ 的有向边。

因为太空船会不停地在太空站来回穿梭，原本在 aj,d−1 的太空船会飞到 aj,d ，故对于每一个空间站 j ，从 aj,d−1 到 aj,d 连一条容量为 hj 的有向边。

其中汇点为 (−1)d(即第 d 的月球)

求图中最大流，当流量为 k 时的 d 即为问题的答案

代码：

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int start = 9999;

int head[10000],nxt[100000],to[100000],wei[100000],tot=1;
queue<int>que;
int deep[10000];
int cur[10000];
int a[47][47],b[47],c[47];
int ans;
int n,m,k;
int father[47];

int find(int);
void uni(int,int);
void add(int,int,int);
bool bfs(int);
int dinic(int,int,int);

int main(){

scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);m+=2;
for(int i=1;i<=m;++i)
father[i] = i;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&b[i],&a[i][0]);
for(int j=1;j<=a[i][0];++j){
scanf("%d",&a[i][j]);
a[i][j] += 2;
if(j!=1)
uni(a[i][j],a[i][j-1]);
}
}

if(find(2) != find(1)){
printf("0");
return 0;
}

int stream = 0;
int flag = 0;
for(int i=1;i<=n;++i)
c[i] = 1;
add(start,2,k);
while(stream < k){
++ans;
for(int i=1;i<=m;++i)
add(i+(ans-1)*m,i+ans*m,inf);
for(int i=1,p;i<=n;++i){
p = c[i]+1;
if(p > a[i][0])
p = 1;
add(a[i][c[i]]+m*(ans-1),a[i][p]+m*ans,b[i]);
c[i] = p;
}
while(bfs(1+ans*m)){
flag = 1;
memcpy(cur,head,sizeof head);
while(flag){
flag = dinic(start,1+ans*m,inf);
stream += flag;
}
}
}
printf("%d",ans);

return 0;

}

int find(int x){

if(father[x] != x)
father[x] = find(father[x]);
return father[x];

}

void uni(int x,int y){

father[find(x)] = find(y);

}

void add(int from,int tp,int value){

++tot;nxt[tot]=head[from];head[from]=tot;wei[tot]=value;to[tot]=tp;
++tot;nxt[tot]=head[tp];head[tp]=tot;wei[tot]=0;to[tot]=from;

}

bool bfs(int tail){

memset(deep,0,sizeof deep);
deep[start] = 1;
que.push(start);
int now;

do{

now = que.front();
que.pop();

for(int i=head[now];i;i=nxt[i])
if(!deep[to[i]] && wei[i]){
deep[to[i]] = deep[now]+1;
que.push(to[i]);
}

}while(!que.empty());

return deep[tail];

}

int dinic(int place,int tail,int low){

if(place == tail)
return low;

int lower;
for(int &i=cur[place];i;i=nxt[i])
if(deep[to[i]]==deep[place]+1 && wei[i]){
lower = dinic(to[i],tail,min(low,wei[i]));
if(lower){
wei[i] -= lower;
wei[i^1] += lower;
return lower;
}
}

return 0;

}